Números Complexos: Operações Aritméticas

Os números complexos são números em que uma parte é escrita por números reais e a outra parte por um número imaginário, tendo a seguinte forma: x + yi.

Dessa forma, um número complexo z pode ser escrita da seguinte forma: z = x + yi.

Sabemos que os números x e y são reais, e a parte yi é a parte imaginária de um número complexo. Onde a propriedade i² = -1 representa a raiz quadrada de -1.

Quando queremos encontrar uma raiz de um número negativo em que o índice é par, é impossível encontrar uma raiz real para esse número. Dessa forma, √-a não representa um elemento de R.

Exemplo:

Esse problema pode ser resolvido com o conjunto dos números complexos C, em que R é um subconjunto.

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Conjugado de um número complexo

Denotamos que o conjugado de um número complexo z, é z com um traço em cima. Pode ser encontrado em outras literaturas o conjugado de z como z*.

Dessa forma, o conjugado para z = x + yi é dado por z* = x – yi. Basicamente, é só trocar o sinal de + para .

Identidade entre números complexos

Considere dois números complexos: z1 = a + bi e z2 = c + di. Eles formam uma identidade, ou seja, uma igualdade, se, e somente se, a = c e b = d.

Logo, a identidade a + bi = c + di ocorre quando a = c e b = d

A partir dessa definição podemos, então, realizar operações com números complexos.

Operações Aritméticas

Assim, vamos demonstrar como aplicar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, sempre obedecendo a ordem e a característica da parte real e imaginária de um número complexo.

Adição

Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a adição a esse dois números assim:

Logo, a adição de z1 + z1 = (a + c) + (b + d)i

Exemplo:

Subtração

Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a subtração a esse dois números assim:

Logo, a subtração de z1 – z1 = (a – c) + (b – d)i

Exemplo:

Multiplicação

Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a multiplicação a esse dois números assim:

Logo, a multiplicação de z1 x z1 = (ac – bd) + (ad + bc)i

Exemplo:

Divisão

Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a divisão a esse dois números assim:

A divisão será representada como uma fração em que z1 será o numerador e z2 o denominador. E a divisão será determinada pela multiplicação do numerador z1 pelo conjugado do denominador z2 e z2 pelo conjugado de z2. Veja:

z1 = a + bi

z2 = c + di

Divisão de números complexos
Divisão
Divisão de números complexos
Divisão

Para entender melhor o processo de distributiva na multiplicação, veja nosso artigo sobre multiplicação.

Exemplo:

Conjunto numérico e o conjunto dos números complexos

Os números complexos formam o conjunto dos números complexos e tem a notação C como símbolo. Este conjunto contém todos os outros conjuntos conhecidos: conjunto dos reais (R), irracionais (I), racionais (Q), inteiros (Z) e naturais (N).

A imagem a seguir mostram como o conjunto C engloba todos os outros conjuntos. Veja:

conjunto dos números complexos

Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R ⊂ C.

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Authorby Jean Carlos Novaes