Os números complexos são números em que uma parte é escrita por números reais e a outra parte por um número imaginário, tendo a seguinte forma: x + yi.
Dessa forma, um número complexo z pode ser escrita da seguinte forma: z = x + yi.
Sabemos que os números x e y são reais, e a parte yi é a parte imaginária de um número complexo. Onde a propriedade i² = -1 representa a raiz quadrada de -1.
Quando queremos encontrar uma raiz de um número negativo em que o índice é par, é impossível encontrar uma raiz real para esse número. Dessa forma, √-a não representa um elemento de R.
Exemplo:
- √-1 não pertence a R, pois √-1 = x ⇒ -1 = x² o que é impossível, pois se x ∈ R, temos que x² ≥ 0.
Esse problema pode ser resolvido com o conjunto dos números complexos C, em que R é um subconjunto.
Conjugado de um número complexo
Denotamos que o conjugado de um número complexo z, é z com um traço em cima. Pode ser encontrado em outras literaturas o conjugado de z como z*.
Dessa forma, o conjugado para z = x + yi é dado por z* = x – yi. Basicamente, é só trocar o sinal de + para –.
Identidade entre números complexos
Considere dois números complexos: z1 = a + bi e z2 = c + di. Eles formam uma identidade, ou seja, uma igualdade, se, e somente se, a = c e b = d.
Logo, a identidade a + bi = c + di ocorre quando a = c e b = d
A partir dessa definição podemos, então, realizar operações com números complexos.
Operações Aritméticas
Assim, vamos demonstrar como aplicar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, sempre obedecendo a ordem e a característica da parte real e imaginária de um número complexo.
Adição
Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a adição a esse dois números assim:
- z1 + z2
- (a + bi) + (c + di) ⇒
- a + bi + c + di ⇒
- a + c + bi + di ⇒
- a + c + (b + d)i ⇒
- (a + c) + (b + d)i
Logo, a adição de z1 + z1 = (a + c) + (b + d)i
Exemplo:
- z1 = (3 + 2i)
- z2 = (2 + 5i)
- z1 + z2 = (3 + 2i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (2 + 5)i = 5 + 7i
Subtração
Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a subtração a esse dois números assim:
- z1 – z2
- (a + bi) – (c + di) ⇒
- a + bi – c – di ⇒
- a – c + bi – di ⇒
- (a – c) + (b – d)i
Logo, a subtração de z1 – z1 = (a – c) + (b – d)i
Exemplo:
- z1 = (3 + 2i)
- z2 = (2 + 5i)
- z1 – z2 = (3 + 2i) – (2 + 5i) = (3 – 2) + (2 – 5)i = 1 – 3i
Multiplicação
Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a multiplicação a esse dois números assim:
- z1 x z2
- (a + bi) x (c + di) ⇒
- ac + adi + bic + bdi² ⇒
- ac + adi + bic + bd(-1) (aplicamos a propriedade i² = -1) ⇒
- ac + adi + bic – bd ⇒
- ac – bd + adi + bic ⇒
- (ac – bd) + (ad + bc)i
Logo, a multiplicação de z1 x z1 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplo:
- z1 = (3 + 2i)
- z2 = (2 + 5i)
- z1 x z2 =
- (3 + 2i) x (2 + 5i) =
- (3 x 2) + (3 x 5i) + (2i x 2) + (2i x 5i) =
- 6 + 15i + 4i + 10i² =
- 6 + 15i + 4i + 10(-1) =
- 6 + 15i + 4i – 10 =
- -4 + 19i
Divisão
Considere-se dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a divisão a esse dois números assim:
- z1 ÷ z2
A divisão será representada como uma fração em que z1 será o numerador e z2 o denominador. E a divisão será determinada pela multiplicação do numerador z1 pelo conjugado do denominador z2 e z2 pelo conjugado de z2. Veja:
z1 = a + bi
z2 = c + di
Para entender melhor o processo de distributiva na multiplicação, veja nosso artigo sobre multiplicação.
Exemplo:
- z1 = (3 + 2i)
- z2 = (2 + 5i)
- z1 ÷ z2 =
- (3 + 2i)(2 – 5i)/(2 + 5i)(2 – 5i) =
- (6 – 15i + 4i – 10i²)/(4 – 10i + 10i – 25i²) =
- (6 – 15i + 4i – 10(-1))/(4 – 10i + 10i – 25(-1)) =
- (6 – 15i + 4i + 10)/(4 – 10i + 10i + 25) =
- (16 – 11i)/(29) =
- (16⁄29) – (11i/29)
Conjunto numérico e o conjunto dos números complexos
Os números complexos formam o conjunto dos números complexos e tem a notação C como símbolo. Este conjunto contém todos os outros conjuntos conhecidos: conjunto dos reais (R), irracionais (I), racionais (Q), inteiros (Z) e naturais (N).
A imagem a seguir mostram como o conjunto C engloba todos os outros conjuntos. Veja:
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R ⊂ C.
Exercícios
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