Números Complexos

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Os números complexos são números em que uma parte é escrita por números reais e a outra parte por um número imaginário, tendo a seguinte forma: x + yi.

Dessa forma, um número complexo z pode ser escrita da seguinte forma: z = x + yi. Sabemos que os números x e y são reais, e a parte yi é a parte imaginária de um número complexo. Onde a propriedade i² = -1 representa a raiz quadrada de -1.

Quando queremos encontrar uma raiz de um número negativo em que o índice é par, é impossível encontrar uma raiz real para esse número. Dessa forma, √-a não representa um elemento de R.

Exemplo: √-1 não pertence a R, pois √-1 = x ⇒ -1 = x² o que é impossível, pois se x ∈ R, temos que x² ≥ 0.

Esse problema pode ser resolvido com o conjunto dos números complexos C, em que R é um subconjunto.

Índice do Artigo

Conjugado de um número complexo

Denotamos que o conjugado de um número complexo z é z com um traço em cima (). Pode ser encontrado em outras literaturas o conjugado de z como z*.

Dessa forma, o conjugado para z = x + yi é dado por = x – yi. Basicamente, é só trocar o sinal de + para .

Identidade entre números complexos

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, eles formam uma identidade, ou seja, uma igualdade, se, e somente se, a = c e b = d.

Logo, a identidade a + bi = c + di ocorre quando a = c e b = d

A partir dessa definição podemos, então, realizar operações com números complexos.

Operações com números complexos

Assim, vamos demonstrar como aplicar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, sempre obedecendo a ordem e a característica da parte real e imaginária de um número complexo.

Adição com números complexos

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a adição a esse dois números assim:

z1 + z2

(a + bi) + (c + di) ⇒

a + bi + c + di ⇒

a + c + bi + di ⇒

a + c + (b + d)i ⇒

(a + c) + (b + d)i

Logo, a adição de z1 + z1 = (a + c) + (b + d)i

Exemplo:

z1 = (3 + 2i)

z2 = (2 + 5i)

z1 + z2 = (3 + 2i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (2 + 5)i = 5 + 7i

Subtração com números complexos

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a subtração a esse dois números assim:

z1 – z2

(a + bi) – (c + di) ⇒

a + bi – c – di ⇒

a – c + bi – di ⇒

(a – c) + (b – d)i

Logo, a subtração de z1 – z1 = (a – c) + (b – d)i

Exemplo:

z1 = (3 + 2i)

z2 = (2 + 5i)

z1 – z2 = (3 + 2i) – (2 + 5i) = (3 – 2) + (2 – 5)i = 1 – 3i

Multiplicação com números complexos

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a multiplicação a esse dois números assim:

z1 x z2

(a + bi) x (c + di) ⇒

ac + adi + bic + bdi² ⇒

ac + adi + bic + bd(-1) (aplicamos a propriedade i² = -1) ⇒

ac + adi + bic – bd ⇒

ac – bd + adi + bic ⇒

(ac – bd) + (ad + bc)i

Logo, a multiplicação de z1 x z1 = (ac – bd) + (ad + bc)i

Exemplo:

z1 = (3 + 2i)

z2 = (2 + 5i)

z1 x z2 =

(3 + 2i) x (2 + 5i) =

(3 x 2) + (3 x 5i) + (2i x 2) + (2i x 5i) =

6 + 15i + 4i + 10i² =

6 + 15i + 4i + 10(-1) =

6 + 15i + 4i – 10 =

-4 + 19i

Divisão com números complexos

Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, podemos aplicar a divisão a esse dois números assim:

z1 ÷ z2

A divisão será representada como uma fração em que z1 será o numerador e z2 o denominador. E a divisão será determinada pela multiplicação do numerador z1 pelo conjugado do denominador z2 e z2 pelo conjugado de z2. Veja:

z1 = a + bi

z2 = c + di

Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos
Divisão de números complexos

Para entender melhor o processo de distributiva na multiplicação, veja nosso artigo sobre multiplicação.

Exemplo:

z1 = (3 + 2i)

z2 = (2 + 5i)

z1 ÷ z2 =

(3 + 2i)(2 – 5i)/(2 + 5i)(2 – 5i) =

(6 – 15i + 4i – 10i²)/(4 – 10i + 10i – 25i²) =

(6 – 15i + 4i – 10(-1))/(4 – 10i + 10i – 25(-1)) =

(6 – 15i + 4i + 10)/(4 – 10i + 10i + 25) =

(16 – 11i)/(29) =

(1629) – (11i/29)

Conjunto numérico e o conjunto dos números

Os números complexos formam o conjunto dos números complexos e tem a notação C como símbolo. Este conjunto contém todos os outros conjuntos conhecidos: conjunto dos reais (R), irracionais (I), racionais (Q), inteiros (Z) e naturais (N).

A imagem a seguir mostram como o conjunto C engloba todos os outros conjuntos. Veja:

conjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexos

Observe que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R ⊂ C .

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