Números Reais

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O conjuntos dos números reais são formados por todos os números com representação decimal, ou seja, que tem casas decimais exatas ou periódicas (números racionais) e as decimais não exatos e não periódicas (números irracionais). O símbolo do conjunto dos números reais é o R.

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Assim, o conjunto dos números reais (R) é formado pela união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I).

Exemplos de números racionais (Q)

  • 2
  • 13
  • 0,5555…
  • 2,33

Exemplos de números irracionais (I):

  • 1,2324233434…
  • 5,03003000…
  • √3

Subconjuntos do conjunto dos números reais

  • R+ = conjunto dos reais não negativos, isto é, somente os números positivos.
    • Exemplo: R+ = {x ∈ R | x ≥ 0
  • R = conjunto dos reais não positivos, isto é, somente os números negativos.
    • Exemplo: R = {x ∈ R | x ≤ 0}
  • R* = conjunto dos reais não nulos, isto é, sem o zero.
    • Exemplo: R* = {x ∈ R | x < 0 e x > 0}
  • R*+ = conjunto dos reais positivos não nulos.
    • R*+ = {x ∈ R | x > 0}
  • R* = conjunto dos reais negativos não nulos.
    • R* = {x ∈ R | x < 0}

O conjunto dos números reais também incluem os conjuntos dos números naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I) e, portanto, eles também são subconjuntos dos reais.

  • Conjuntos dos números naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
  • Conjunto dos números inteiros (Z): Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
  • Conjunto dos números racionais (Q): Q = {…, 15, 23, –65, …}
  • Conjunto dos números irracionais (I): I = {…, √3, √5, 3,141592, …}

Podemos verificar que os conjuntos citados acima são subconjuntos dos números reais através da observação da imagem abaixo:

Números reais e números irracionais
Números reais

Então, podemos afirmar que:

  • N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
  • I ⊂ R

Intervalos reais

Seja a e b dois números reais, com a < b, definimos:

Intervalo aberto nos extremos a e b é o conjunto:

]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}

Intervalo aberto

Intervalo fechado nos extremos a e b é o conjunto:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

Números reais: intervalo fechado nos extremos a e b

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita nos extremos a e b é o conjunto:

[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}

Números reais

Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda nos extremos a e b é o conjunto:

]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

Números reais: intervalo fechado à direita e aberto à esquerda nos extremos a e b

Também podemos definir no conjunto dos números reais intervalos infinitos, veja:

]–∞, a[ = {x ∈ R | x < a}

]–∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a}

[a, +∞[ = {x ∈ R | x ≥ a}

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