Números Irracionais
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Os números irracionais formam o conjunto dos números irracionais que é identificado pelo símbolo I (maiúscula). Este conjunto é formado pelos números decimais, infinitos e não periódicos.
Os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração em que o numerador e o denominador sejam números que pertencem ao conjunto dos números inteiros.
Exemplo de números irracionais:
- √5 = 2,23606797749978…
- √2 = 1,41421356237309…
- √7 = 2,64575131106459…
Apesar dos exemplos acima serem infinitos como uma dízima periódica, eles não podem ser escritos na forma de uma fração. Enquanto que as dízimas periódicas podem ser escrita como uma fração.
Exemplo: 1,333333… = 4⁄3
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Definição
Podemos definir o conjunto dos números irracionais como:
I = {x ≠ a/b | x ∈ Z e b ∈ Z*}
Ou seja, os números irracionais não podem ser frações com números inteiros. Então:
I = {…, -√2, …, e, … π, …}
Números irracionais notáveis
π (pi) é um famoso número usada na Geometria, ele é um número irracional pois é infinito e não apresenta um período que se repete após a vírgula. Foi descoberto através da divisão do comprimento pelo diâmetro de uma circunferência.
π = 3,14159265358979…
O número de Neper é considerado um número irracional. É simbolizado pela letra e.
O número áureo, também conhecido como número de ouro, é uma proporção entre duas razões encontradas em elementos da natureza. Muito utilizado em obras de artes e construções. É denotado pela letra grega Φ (Phi).
Φ = 1,6180339
Números reais e números irracionais
O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e dos números irracionais.
Sabe-se que o conjunto dos números racionais contém todos os números que não são irracionais: números naturais e números inteiros. Então, por isso que os números reais é a união dos números racionais e irracionais
- R = Q ∪ I
- Q ∩ I = ∅
Vejamos na imagem a formação dos números reais, os números irracionais é um conjunto a parte dentro dos reais.
Geometria e os números irracionais
Nos estudos da Geometria os números irracionais foram o divisor de água quando se deu sua descoberta, pois muitos problemas sem respostas podem ser solucionados, sem que precisasse ficar apresentando um resultado aproximado.
O teorema de Pitágoras, por exemplo, em que podemos calcular a hipotenusa a partir dos quadrados dos catetos, temos que o valor da hipotenusa será um número irracional. Veja:
Se considerarmos um quadrado de lado 1 x 1, temos que a medida da sua diagonal é:
Portanto, temos que a media da diagonal é um número irracional √2. Se obtermos a sua raiz quadrada temos que: √2 = 1,41421356237309… e portanto um número que é infinito sem formar um período.
Por isso que a descoberta dos números irracionais foi um marco para a Geometria, problemas como esse pode ser calculado e expressar seu resultado sem ter que ficar tentando apresentar um resultado aproximado.
Observações
- Seja a irracional e r racional não nulo, então:
a + r
a.r
a/r
r/aSão todos números irracionais.
Exemplos:
- √2 + 1
- 3√2
- √3/2
- 3/√5
- As operações de adição, subtração, multiplicação ou divisão entre números irracionais pode ter como resultado um número racional ou um número irracional.
Exemplos:
- √2 + √3
- √2.√3 = √6
- √2 – √3
- √2/√3 = √6/3
São todos números irracionais
Exemplos:
- √2 + (1 – √2) = 1
- √2.√8 = 4
- √2 – √2 = 0
- √8/√2 = 2
São todos números racionais
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