Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras é um dos mais famosos teoremas da matemática. Este teorema é aplicado aos comprimentos dos lados do triângulo retângulo – triângulo que possui um ângulo reto, que mede 90°.

O Teorema de Pitágoras diz que: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

A hipotenusa é o lado do triângulo que tem a maior medida e fica oposta ao ângulo reto, enquanto os catetos existem dois: o cateto ajacente e o cateto oposto. O cateto ajacente é aquele que fica ao lado de um ângulo e o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. Veja no triângulo abaixo:

Teorema de Pitágoras
Triângulo retângulo

Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.

Teorema de Pitágoras
Hipotenusa

Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.

Teorema de Pitágoras
Cateto oposto

Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.

Teorema de Pitágoras
Cateto adjacente

Índice do Artigo

Fórmula do Teorema de Pitágoras

O teorema de pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em um fórmula:

a² = b² + c²

Onde:

  • a: representa a hipotenusa;
  • b e c: representa os catetos oposto e adjacente.

Exemplo:

Considere um triângulo com as seguintes medidas:

  • Hipotenusa: 5 cm
  • Cateto Adjacente: 4 cm
  • Cateto Oposto: 3 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual hipotenusa ao quadrado, assim: a² = b² + c²

Então: 5² = 3² + 4² ⇒ 25 = 9 + 16 ⇒ 25 = 25

Podemos ver isso na imagem abaixo onde temos 9 quadrados no cateto oposto e 16 no cateto adjacente, somando os quadrados dos catetos, chegamos a soma dos quadrados que estão na hipotenusa.

Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras

Pitágoras provou que a área dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo referente aos catetos, equivale a área do quadrado construído ao lado da hipotenusa.

Exercícios Resolvidos

Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, send que os catetos AB e BC, tem medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

Teorema de Pitágoras

Cálculos dos quadrados dos catetos:

(AB)² = 6² = 36 cm²

(BC)² = 8² = 64 cm²

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (AB)² + (BC)²

x² = 36 cm² + 64 cm², com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm²

Calcule a medida do cateto AB do triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sabendo que a hipotenusa AC tem medida 10 cm, e o cateto BC mede 5 cm.

Teorema de Pitágoras

Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:

(AC)² = 10² = 100 cm²

(BC)² = 5² = 25 cm²

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (BC)² + (AB)²

100 cm² = 25 cm² + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 cm² – 25 cm² ⇔ x² = 75 cm² ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3


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