Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pitágoras é um dos mais famosos teoremas da matemática. Este teorema é aplicado aos comprimentos dos lados do triângulo retângulo - triângulo que possui um ângulo reto, que mede 90°.

O Teorema de Pitágoras diz que: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

A hipotenusa é o lado do triângulo que tem a maior medida e fica oposta ao ângulo reto, enquanto os catetos existem dois: o cateto ajacente e o cateto oposto. O cateto ajacente é aquele que fica ao lado de um ângulo e o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. Veja no triângulo abaixo:

Teorema de Pitágoras

Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.

Teorema de Pitágoras

Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.

Teorema de Pitágoras

Fórmula do Teorema de Pitágoras

O teorema de pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual a hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em um fórmula:

a² = b² + c²

Onde:

  • a: representa a hipotenusa;
  • b e c: representa os catetos oposto e adjacente.

Exemplo:

Considere um triângulo com as seguintes medidas:

  • Hipotenusa: 5 cm
  • Cateto Adjacente: 4 cm
  • Cateto Oposto: 3 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos tem que ser igual hipotenusa ao quadrado, assim: a² = b² + c²

Então: 5² = 3² + 4² ⇒ 25 = 9 + 16 ⇒ 25 = 25

Podemos ver isso na imagem abaixo onde temos 9 quadrados no cateto oposto e 16 no cateto adjacente, somando os quadrados dos catetos, chegamos a soma dos quadrados que estão na hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

Pitágoras provou que a área dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo referente aos catetos, equivale a área do quadrado construído ao lado da hipotenusa.

Exercícios Resolvidos

  1. Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, send que os catetos AB e BC, tem medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

    Exercício Resolvido: Teorema de Pitágoras

    Cálculos dos quadrados dos catetos:

    (AB)² = 6² = 36 cm²

    (BC)² = 8² = 64 cm²

    Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

    (AC)² = (AB)² + (BC)²

    x² = 36 cm² + 64 cm², com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm²

  2. Calcule a medida do cateto AB do triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sabendo que a hipotenusa AC tem medida 10 cm, e o cateto BC mede 5 cm.

    Exercício Resolvido: Teorema de Pitágoras

    Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:

    (AC)² = 10² = 100 cm²

    (BC)² = 5² = 25 cm²

    Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

    (AC)² = (BC)² + (AB)²

    100 cm² = 25 cm² + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 cm² - 25 cm² ⇔ x² = 75 cm² ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3

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Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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