Números Racionais

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Os números racionais formam o conjunto dos números racionais que é identificado pelo símbolo Q. Este conjunto é formado pelos números fracionários que podem ser reduzidos à forma a/b, em que a ∈ Z, b ∈ Z* e b ≠ 0.

Q = {x = a/b | a ∈ Z e b ∈ Z*}

Veja que a pode ser qualquer número inteiro (Z) e b somente número do conjunto dos inteiros não nulos (Z*).

Exemplos de números racionais:

  • 4⁄1 = 4 (números inteiros)
  • 3⁄100 = 0,03 (números decimais exatos)
  • 5⁄3 = 1,6666… (dízimas periódicas)

A fração a/b, sendo a o numerador e b o denominador, se o MDC de a e b for 1, então temos que a e b são primos entre si, logo a/b é uma fração irredutível.

Exemplo de frações irredutíveis: 1⁄3; 4⁄5; 2⁄7

Subconjuntos importantes dos números racionais

Definiremos agora os conjuntos que são subconjuntos dos números racionais:

  • Q+ = conjuntos dos números racionais positivos.
  • Q- = conjuntos dos números racionais negativos.
  • Q* = conjuntos dos números racionais não nulos.
  • Q*+ = conjuntos dos números racionais positivos e não nulos.
  • Q*- = conjuntos dos números racionais negativos e não nulos.

O conjunto dos números inteiros também é um subconjunto do conjuntos dos números racionais, pois todo número inteiro pode ser representador como uma fração com denominador 1.

Exemplo:

  • 6 ∈ Q, pois 6 = 6⁄1
  • 3 ∈ Q, pois 3 = 3⁄1

Números decimais

Todo número racional a/b, com b ≠ 0, podemos representá-lo como um número decimal. Para transformar um número racional para um número decimal dividimos o número inteiro a pelo número inteiro b. Nessa transformação dois casos podem ocorrer:

  1. O número decimal ter uma quantidade finita e exata de algarismos.

    Exemplo: 5⁄1 = 5; 1⁄2 = 0,5; 1⁄10 = 0,1

  2. O número decimal ter uma quantidade infinita de algarismos e formar uma dízima periódica.

    Exemplo: 2⁄3 = 0,6666…; 5⁄3 = 1,6666…

Um número decimal também pode ser convertido para um número racional na forma de fração. Veja algumas formas de fazer essa conversão:

  • Quando o número for uma decimal exata, o numerador é o número sem virgula e o denominador é o número 1 seguido da quantidade de números zeros de acordo com a quantidade de números nas casas decimais.

    • Exemplo:

      • 0,5 = 5⁄10; 5 é o número sem a vírgula e 1 no denominador com a quantidade de zero definido pela quantidade de números após a vírgula, assim 10.

      • 6,231 = 6231⁄1000; da mesma forma número sem a virgula no numerador e no denominador 1 mais a quantidade de números após a vírgula, logo 1000.

  • Quando o número decimal for uma dízima periódica devemos procurar a sua fração geratriz.

    • Exemplo 1:

      • A fração geratriz para 0,333…

      x = 0,333…
      10x = 3,333…

      Assim, 10x - x = 3 ⇒ x = 3⁄9

      No exemplo tivemos x = 0,333…, depois multiplicamos os dois lados por 10. Por fim, subtraímos 10x - x e 0,333… por 3,333…; encontramos 9x = 3 ⇒ x = 3⁄9.

      Este exemplo também pode ser resolvido assim: no numerador coloca o aquilo que se repete (período), no denominador coloca o número 9 de acordo com a quantidade de algarismos que se repetem após a vírgula. Veja: 0,333… ⇒ 3⁄9; outro exemplo: 0,545454… ⇒ 54⁄99

    • Exemplo 2:

      • 0,521111…

      Para encontrar a fração para este exemplo, juntamos a parte do período que não se repete com o período (521) e subtrai-se da parte que não se repete (52). No denominador colocamos um 9 para cada algarismo que forma o período e zero (0) para cada número que não faz parte do período. Veja

      0,521111… ⇒ (521 - 52)/900 = 469⁄900

      • 3,52222…

      3,52222… ⇒ (352 - 35)/90 = 317⁄90

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Bons estudos! 😄

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Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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