Números Racionais: Veja Como Identificar!

Os números racionais formam o conjunto dos números racionais que é identificado pelo símbolo Q. Este conjunto é formado pelos números fracionários que podem ser reduzidos à forma a/b, em que a ∈ Z, b ∈ Z* e b ≠ 0.

Q = {x = a/b | a ∈ Z e b ∈ Z*}

Veja que a pode ser qualquer número inteiro (Z) e b somente número do conjunto dos inteiros não nulos (Z*).

Exemplos de números racionais:

• ⁴⁄₁ = 4 (números inteiros);
• ³⁄₁₀₀ = 0,03 (números decimais exatos);
• ⁵⁄₃ = 1,6666… (dízimas periódicas).

A fração a/b, sendo a o numerador e b o denominador, se o MDC de a e b for 1, então temos que a e b são primos entre si, logo a/b é uma fração irredutível.

Exemplo de frações irredutíveis: ¹⁄₃; ⁴⁄₅; ²⁄₇

Subconjuntos importantes dos números racionais

Definiremos agora os conjuntos que são subconjuntos dos números racionais:

• Q₊ = conjuntos dos números racionais positivos.
• Q_– = conjuntos dos números racionais negativos.
• Q* = conjuntos dos números racionais não nulos.
• Q*₊ = conjuntos dos números racionais positivos e não nulos.
• Q*_– = conjuntos dos números racionais negativos e não nulos.

O conjunto dos números inteiros também é um subconjunto do conjuntos dos números racionais, pois todo número inteiro pode ser representador como uma fração com denominador 1.

Exemplo:

• 6 ∈ Q, pois 6 = ⁶⁄₁
• 3 ∈ Q, pois 3 = ³⁄₁

Números decimais

Todo número racional a/b, com b ≠ 0, podemos representá-lo como um número decimal. Para transformar um número racional para um número decimal dividimos o número inteiro a pelo número inteiro b. Nessa transformação dois casos podem ocorrer:

• O número decimal ter uma quantidade finita e exata de algarismos;
  • Exemplo: ⁵⁄₁ = 5; ¹⁄₂ = 0,5; ¹⁄₁₀ = 0,1
• O número decimal ter uma quantidade infinita de algarismos e formar uma dízima periódica.
  • Exemplo: ²⁄₃ = 0,6666…; ⁵⁄₃ = 1,6666…

Um número decimal também pode ser convertido para um número racional na forma de fração. Veja algumas formas de fazer essa conversão:

• Quando o número for uma decimal exata, o numerador é o número sem virgula e o denominador é o número 1 seguido da quantidade de números zeros de acordo com a quantidade de números nas casas decimais.

  • Exemplo:

    • 0,5 = ⁵⁄₁₀; 5 é o número sem a vírgula e 1 no denominador com a quantidade de zero definido pela quantidade de números após a vírgula, assim 10.
      
    • 6,231 = ⁶²³¹⁄₁₀₀₀; da mesma forma número sem a virgula no numerador e no denominador 1 mais a quantidade de números após a vírgula, logo 1000.
      
• Quando o número decimal for uma dízima periódica devemos procurar a sua fração geratriz.
  
  • Exemplo 1:
    
    • A fração geratriz para 0,333…
      x = 0,333…

      10x = 3,333…

      Assim, 10x – x = 3 ⇒ x = ³⁄₉

      No exemplo tivemos x = 0,333…, depois multiplicamos os dois lados por 10. Por fim, subtraímos 10x – x e 0,333… por 3,333…; encontramos 9x = 3 ⇒ x = ³⁄₉.

      Este exemplo também pode ser resolvido assim: no numerador coloca o aquilo que se repete (período), no denominador coloca o número 9 de acordo com a quantidade de algarismos que se repetem após a vírgula. Veja: 0,333… ⇒ ³⁄₉; outro exemplo: 0,545454… ⇒ ⁵⁴⁄₉₉

  • Exemplo 2:
    
    • 0,521111…

      Para encontrar a fração para este exemplo, juntamos a parte do período que não se repete com o período (521) e subtrai-se da parte que não se repete (52). No denominador colocamos um 9 para cada algarismo que forma o período e zero (0) para cada número que não faz parte do período. Veja

      0,521111… ⇒ (521 – 52)/900 = ⁴⁶⁹⁄₉₀₀

    • 3,52222…

      3,52222… ⇒ (352 – 35)/90 = ³¹⁷⁄₉₀

Exercícios propostos

Veja os exercícios no link abaixo:

• Exercícios sobre os números racionais

Bons estudos!

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