Conjuntos Numéricos

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Na matemática os conjuntos que representam a classe dos números são representados por 5 (cinco) grandes conjuntos:

  • O conjunto dos números reais, representado pela letra R, e contém todos os outros conjuntos;
  • O conjunto dos números irracionais, representado pela letra I, está contido no conjunto R;
  • O conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, também está contido no conjunto dos números reais;
  • O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, e está contido no conjunto Q e o conjunto R;
  • E, por fim, o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, que, por sua vez, está contido nos conjuntos Z, Q, e R.

Podemos dizer também que o conjunto dos números naturais N é subconjunto de Z, sendo Z subconjunto de Q que é subconjunto de R, logo N é subconjunto de Z, de Q, e de R.

Essa analogia é válida para Z que é subconjunto de Q sendo Q subconjunto de R, logo Z é subconjunto de R. Apenas o conjunto dos números irracionais I é subconjunto, apenas, de R.

Um conjunto é subconjunto de outro quando seus elementos são também elementos deste outro conjunto, ou seja, quando todos os elementos de um pertence ao outro. Por exemplo, os elementos de N também são elementos de Z, de Q e de R.

Tudo isso pode ser melhor visualizado na imagem abaixo.

Diagrama que mostra a relação de pertinência dos conjuntos numéricos

Pela imagem podemos ver a relação de pertinência dos conjuntos. Assim, podemos representar dessa forma: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, analogamente também vale o seguinte, R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N; e I ⊂ R ou R ⊃ I.

Símbolos: ⊂ (está contido), e ⊃ (contém)

Conjunto dos números naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, contendo os números positivos incluindo o 0 (zero).

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

É um conjunto infinito, não dá para representar todos os números, assim a reticência (…) indica que é um conjunto infinito. Também pode ser representado da seguinte forma:

Subconjuntos dos números naturais

Temos alguns conjuntos derivados do conjunto do números naturais, são eles:

  • N* = {1, 2, 3, 4, 5, …}; conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
  • Np = {0, 2, 4, 6, 8, …}; conjunto dos números naturais pares.
  • Ni = {1, 3, 5, 7, 9; …}; conjunto dos números naturais ímpares.
  • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.

Todos esses conjuntos estão contidos no conjunto dos números naturais, e portanto são subconjuntos dele.

Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, contendo todos os números naturais e os números negativos, que são os números opostos aos positivos.

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Também é um conjunto infinito nas duas extremidades.

Subconjunto dos números inteiros

  • Z* = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,…}; conjunto dos números inteiros que não contem o zero, não-nulos.
  • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}; conjunto dos números inteiros positivos, isto é, sem os números negativos.
  • Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}; conjuntos dos números inteiros positivos e sem o zero.
  • Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; conjunto dos números inteiros negativos.
  • Z*- = {…, -5, -4, -3, -2, -1}; conjuntos dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjuntos dos números racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representados pela letra Q, contendo os números inteiros, forma decimal exata, os números na forma periódica ou na forma de fração.

Conjuntos dos números racionais

É um conjunto infinito também.

Números decimais na forma exata: Ex. {2,2; 5,432; 23,00009}

Números decimais na forma periódica: Ex. {3,2222…; 12,11111…; 40,12121212…}

Subconjunto dos números racionais (Q)

  • Q* conjuntos dos números racionais sem o zero.
  • Q+ conjuntos dos números racionais positivos.
  • Q*+ conjuntos dos números racionais positivos e sem o zero.
  • Q- conjuntos dos números racionais negativos.
  • Q*- conjuntos dos números racionais negativos e sem o zero.

Conjuntos dos números irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os números decimais não exatos e não periódicos.

Exemplos: 4,21315… ou 5,122030…

Conjunto irracionais

É um conjunto infinito.

Conjuntos dos números reais (R)

O conjuntos dos números reais é representado pela letra R, contendo todos os os conjuntos anteriormente citados. Assim, R é a união dos conjuntos N, Z, Q e I.

Subconjunto dos números reais

  • R* conjunto dos números reais sem o zero.
  • R+ conjunto dos números reais positivos.
  • R*+ conjunto dos números reais e sem o zero.
  • R- conjunto dos números reais negativos.
  • R*- conjunto dos números reais negativos e sem o zero.

Intervalos numéricos

Uma maneira de apresentar conjuntos na matemática é através dos intervalos numéricos. É importante lembrar que só é possível apresentar intervalos numéricos para os conjuntos e subconjuntos do conjuntos dos números reais. Veja a seguir os tipos de intervalos:

Intervalos com extremos abertos

  • ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}

    Intervalos com extremos abertos

Intervalos com extremos fechados

  • [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

    Intervalos com extremos abertos

Intervalos aberto à direita e fechado à esquerda

  • [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}

    Intervalos com extremos abertos

Intervalos aberto à esquerda e fechado à direita

  • ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}

    Intervalos com extremos abertos

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Bons estudos! 😄

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Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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