Divisão: Propriedades e Regras dos Sinais

A divisão é uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Consiste em dividir dois números, o dividendo e o divisor, que produz dois resultados chamados de quociente e resto.

Seu símbolo é o “÷”. No entanto pode variar, por exemplo, no teclado do computador o símbolo adotado é a barra “/”, em outros casos, “:”.

A divisão é o ato de dividir em partes iguais para todos. O número que está sendo dividido em partes iguais é chamado de dividendo; o número que indica em quantas vezes vamos dividir é chamado de divisor; o resultado é chamado de quociente; o que sobra é chamado de resto.

Exemplos: 15 ÷ 2 = 7 (sobra 1, portanto tem-se resto 1)

Leia-se: “Quinze dividido por dois igual a 7”

No exemplo acima, 15 é o dividendo, 2, o divisor, 7, o quociente (resultado), e 1 é o resto, ou seja, o que sobra como resto dessa divisão. O resto existe quando a divisão não é exata, ou seja, quando o resto é diferente de zero.

Condição de existência

Considere dois números naturais N e d tais que se dividirmos N por um divisor d, teremos um quociente q e um resto r. Essa regra deve obedecer as seguintes condições:

Essa condição nos diz que não existe um divisor igual a 0 (zero), pois pela segunda condição d > r, e r ≥ 0. Dessa forma, d = 0 não satisfaz a desigualdade 0 ≤ r < d.

Então, qualquer número N e d ≠ 0, temos que o quociente da divisão de N por d será o maior número natural q, desde que o produto q x d não seja maior que N. O resto dessa divisão é a diferença entre o dividendo N e o produto q x d.

Exemplo: 12 ÷ 3 = 4

Com esse exemplo e a imagem podemos entender melhor. A divisão de 12 por 3 tem como quociente 4. O produto 4 x 3 não pode ser maior que 12. O resto é a diferença entre o produto (q x d) e N: (4 x 3) – 12.

Propriedades

Vamos estudar agora algumas propriedades importantes:

Não é comutativa

Dividir 2 ÷ 1 = 2 é diferente de dividir 1 ÷ 2 = 0,5, portanto a comutatividade não vale para a divisão.

Não é associativa

A associatividade não vale na divisão. Por exemplo, dividir (4 ÷ 2) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1 tem resultado diferente de 4 ÷ (2 ÷ 2) = 4 ÷ 1 = 4. Lembrando que os parênteses têm prioridade na divisão, ou seja, devem ser resolvidos primeiros.

Fechamento

A propriedade de fechamento em que a divisão de dois números reais será um número real não satisfaz, pois a divisão por 0 (zero) não tem como resultado um número real.

Elemento neutro

O número 1 (um) é o elemento neutro na divisão, dividir um número por 1 (um) tem como resultado o próprio número. Faz todo sentido, por exemplo, dividir um pedaço de bolo com você mesmo, o pedaço será todo seu.

Anulação

O número 0 anula o resultado quando dividido por qualquer número real.

Casos particulares da divisão e multiplicação

Multiplicação

Um número multiplicado por 1 (um) tem como resultado ele mesmo.
- Exemplo: 2 x 1 = 2
Um número multiplicado por 0 (zero) tem como resultado o zero.
- Exemplo: 2 x 0 = 0

Divisão

Um número dividido por 1 (um) tem como resultado ele mesmo.
- Exemplo: 2 ÷ 1 = 2
Um número dividido por ele tem como resultado o número 1 (um).
- Exemplo: 2 ÷ 2 = 1
Zero dividido por qualquer número tem como resultado o próprio zero.
- Exemplo: 0 ÷ 2 = 0
Nenhum número real pode ser dividido por 0 (zero).

Regra dos sinais

A divisão de número naturais com sinais diferentes obedecem às seguintes regras:

Sinais iguais: divide e o resultado fica positivo.
Sinais diferentes: divide e o resultado fica negativo.

Jogo dos sinais

+ – = – (mais com menos é igual a menos)
– + = – (menos com mais é igual a menos)
+ + = + (mais com mais é igual a mais)
– – = + (menos com menos é igual a mais)

Exemplos:

(-10) ÷ (+1) = -10 (Sinais diferentes: divide e o sinal fica negativo).
(+10) ÷ (-1 ) = -10 (Sinais diferentes: divide e o sinal fica negativo).
(-10) ÷ (-1) = +10 (Sinais iguais: divide e o sinal fica positivo).
(+10) ÷ (+1) = +10 (Sinais iguais: divide e o sinal fica positivo).

Veja como resolver manualmente

Exemplos:

15 ÷ 2 = 7 (com resto 1).
14 ÷ 2 = 7 (divisão exata)

Resolução da divisão entre dois números manualmente

Quando dividimos manualmente dois números, devemos dividir o dividendo pelo divisor, o resultado dessa divisão é o quociente. Para encontrar o resto dessa divisão, basta multiplicar o quociente pelo divisor e subtrair pelo dividendo.