Uma matriz é uma disposição retangular de números, símbolos ou funções organizada em linhas e colunas. Pode guardar um conjunto de dados, representar um sistema de equações, descrever uma transformação geométrica ou registar ligações numa rede. A posição de cada elemento faz parte do seu significado.
Ordem, elementos e famílias de matrizes
A ordem (m×n) indica primeiro o número de linhas e depois o de colunas. Duas matrizes são iguais apenas se tiverem a mesma ordem e elementos correspondentes iguais. Uma matriz linha tem uma linha, uma matriz coluna tem uma coluna e uma matriz quadrada tem tantos elementos por linha como por coluna.
Observe uma matriz 2 × 2 a transformar o plano
Altere os elementos para acompanhar os vetores da base e a mudança de área.
Matrizes diagonais têm zeros fora da diagonal principal. Uma matriz escalar tem todos os elementos diagonais iguais, e a matriz identidade é a matriz escalar com uns na diagonal. A matriz nula contém apenas zeros; uma matriz triangular tem zeros acima ou abaixo da diagonal.
As classificações podem sobrepor-se. A identidade é simultaneamente diagonal, escalar, quadrada e triangular. Uma matriz também pode ser simétrica quando coincide com a sua transposta.
A adição atua posição a posição
Só se podem somar ou subtrair matrizes da mesma ordem. Combine os elementos que ocupam a mesma posição. Multiplicar por um escalar multiplica todos os elementos e conserva a ordem.
Ter o mesmo número total de elementos não basta. Uma matriz 2 por 3 e outra 3 por 2 contêm ambas seis valores, mas têm formas diferentes e não podem ser somadas.
O produto liga linhas a colunas
O produto (AB) existe quando o número de colunas de (A) coincide com o número de linhas de (B). Cada elemento do resultado é o produto escalar de uma linha de (A) por uma coluna de (B). Se (A) é (m×n) e (B) é (n×p), o resultado é (m×p).
O exemplo mostra por que razão a multiplicação não é, em geral, comutativa. Mesmo quando (AB) e (BA) existem, podem ser diferentes. Em transformações, a ordem também informa qual ação ocorre primeiro: em (ABx), (B) atua antes de (A).
O determinante identifica matrizes singulares
Só matrizes quadradas têm determinante. Um valor não nulo significa que existe inversa e que as colunas são linearmente independentes. Um valor zero indica perda de dimensão. Consulte determinantes de matrizes para a regra de Sarrus e a expansão de Laplace.
Uma sequência segura para calcular
Anote as dimensões antes de começar. Verifique formas iguais na adição e dimensões internas no produto. Preveja se a resposta será escalar, vetor ou matriz, e calcule um par linha-coluna de cada vez. No fim, confirme a ordem, teste a identidade e, se houver uma inversa proposta, multiplique nos dois sentidos.
Quando os elementos vêm de medições, arredondar cada produto demasiado cedo pode distorcer a resposta. Mantenha precisão adicional nas etapas intermédias e arredonde apenas o resultado final de acordo com a qualidade dos dados.
Também é importante interpretar linhas e colunas antes de operar. Numa matriz de custos, por exemplo, as linhas podem representar produtos e as colunas meses. Trocar essa convenção sem atualizar os vetores associados pode produzir uma multiplicação formalmente possível, mas com significado errado. Dimensões compatíveis não substituem uma definição clara das entidades.
