Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, symboles ou fonctions organisé en lignes et colonnes. Elle peut enregistrer des données, coder un système d'équations, représenter une transformation géométrique ou décrire un réseau. La position de chaque élément fait partie de l'information.
Ordre, éléments et familles qui se recoupent
L'ordre (m×n) donne d'abord le nombre de lignes, puis celui de colonnes. Deux matrices ne sont égales que si leurs ordres et tous leurs éléments correspondants coïncident. Une matrice-ligne a une ligne, une matrice-colonne une colonne et une matrice carrée autant de lignes que de colonnes.
Observez une matrice 2 × 2 agir sur le plan
Modifiez les éléments pour suivre les vecteurs de base et le changement d'aire.
Une matrice diagonale est nulle hors de sa diagonale principale. Une matrice scalaire a des éléments diagonaux égaux ; la matrice identité y place des uns. La matrice nulle et les matrices triangulaires sont d'autres cas usuels.
Ces familles peuvent se superposer. L'identité est carrée, diagonale, scalaire et triangulaire. Elle est aussi symétrique puisqu'elle égale sa transposée.
Addition et multiplication scalaire terme à terme
On n'additionne ou ne soustrait que des matrices de même ordre, élément par élément. Multiplier par un scalaire multiplie chaque entrée et ne change pas le format.
Le même nombre total d'éléments ne suffit pas. Une matrice 2 par 3 et une matrice 3 par 2 possèdent chacune six valeurs, mais leurs positions ne correspondent pas et leur somme n'est pas définie.
Le produit relie une ligne à une colonne
(AB) existe si le nombre de colonnes de (A) égale le nombre de lignes de (B). Chaque élément du résultat est le produit scalaire d'une ligne de (A) et d'une colonne de (B). Les ordres (m×n) et (n×p) donnent (m×p).
L'exemple montre que la multiplication n'est généralement pas commutative. Même lorsque (AB) et (BA) existent, ils peuvent différer. Dans (ABx), la transformation (B) agit avant (A).
Le déterminant repère les matrices singulières
Seules les matrices carrées ont un déterminant. Une valeur non nulle signifie colonnes indépendantes et inverse existante ; zéro signale une perte de dimension. Les méthodes de calcul figurent dans le déterminant d'une matrice.
Une méthode de travail qui limite les erreurs
Notez les dimensions avant tout calcul. Vérifiez le même format pour une somme et les dimensions intérieures pour un produit. Prévoyez la taille du résultat, puis traitez chaque couple ligne-colonne. Enfin, contrôlez avec l'identité ; une inverse proposée doit donner l'identité des deux côtés.
Avec des données mesurées, des arrondis trop précoces peuvent déformer le résultat. Conservez des chiffres supplémentaires pendant les opérations et arrondissez seulement à la précision justifiée par les entrées.
Définissez toujours ce que représentent lignes et colonnes. Dans une matrice de coûts, les lignes peuvent être des produits et les colonnes des mois. Inverser cette convention sans adapter les vecteurs associés peut donner un produit aux dimensions valides mais à l'interprétation erronée. Les unités comptent aussi : quantités, prix et durées ne deviennent pas compatibles simplement parce que leurs tableaux ont les bonnes formes.
