Una matrice è una disposizione rettangolare di numeri, simboli o funzioni in righe e colonne. Può memorizzare dati, codificare un sistema di equazioni, rappresentare una trasformazione geometrica o descrivere una rete. La posizione di ciascun elemento fa parte dell'informazione.
Ordine, elementi e tipi sovrapposti
L'ordine (m×n) indica prima le righe e poi le colonne. Due matrici sono uguali solo se hanno lo stesso ordine e ogni coppia di elementi corrispondenti è uguale. Le matrici riga, colonna e quadrate si distinguono dalla loro forma.
Osserva una matrice 2 × 2 sul piano
Modifica gli elementi per seguire i vettori di base e la variazione dell'area.
Una matrice diagonale ha zeri fuori dalla diagonale principale. Una matrice scalare ha elementi diagonali uguali; la matrice identità mette uno sulla diagonale. Matrice nulla e matrici triangolari sono altri casi importanti.
Le categorie possono coincidere. L'identità è quadrata, diagonale, scalare e triangolare. È anche simmetrica perché coincide con la propria trasposta.
Addizione e moltiplicazione per scalare elemento per elemento
Si sommano o sottraggono solo matrici dello stesso ordine, combinando le posizioni corrispondenti. Moltiplicare per uno scalare significa moltiplicare ogni elemento senza cambiare l'ordine.
Lo stesso numero totale di elementi non basta. Una matrice 2 per 3 e una 3 per 2 hanno entrambe sei valori, ma forme diverse e nessuna somma definita.
Nel prodotto le righe incontrano le colonne
(AB) esiste quando le colonne di (A) sono tante quante le righe di (B). Ogni elemento del risultato è il prodotto scalare tra una riga di (A) e una colonna di (B). Gli ordini (m×n) e (n×p) producono (m×p).
L'esempio chiarisce perché la moltiplicazione non è in genere commutativa. Anche se (AB) e (BA) esistono, possono differire. Nella composizione (ABx), la matrice (B) agisce prima di (A).
Il determinante riconosce le matrici singolari
Solo le matrici quadrate hanno determinante. Un valore diverso da zero significa colonne linearmente indipendenti e inversa esistente; zero segnala perdita di dimensione. Vedi il determinante di una matrice per Sarrus e Laplace.
Una procedura di calcolo affidabile
Scrivi le dimensioni prima di iniziare. Verifica forme uguali per l'addizione e dimensioni interne per il prodotto. Prevedi l'ordine del risultato e calcola una coppia riga-colonna alla volta. Infine controlla con l'identità; una presunta inversa deve produrla da entrambi i lati.
Con dati misurati, arrotondare ogni prodotto troppo presto può alterare la risposta. Conserva cifre aggiuntive nei passaggi e arrotonda solo il risultato finale in base alla precisione degli input.
Definisci sempre il significato di righe e colonne. In una matrice di costi, le righe possono rappresentare prodotti e le colonne mesi. Scambiare la convenzione senza adattare i vettori può produrre un prodotto con dimensioni formalmente valide ma interpretazione falsa. Anche le unità contano: quantità, prezzi e tempi non diventano compatibili solo perché le forme delle tabelle permettono la moltiplicazione.
