Matrice identità: definizione, proprietà ed esempi

La matrice identità svolge nella moltiplicazione matriciale il ruolo del numero uno. È quadrata, contiene uno sulla diagonale principale e zero in tutte le altre posizioni. Moltiplicare per una matrice identità compatibile lascia invariata l'altra matrice. L'ordine è importante: per una matrice rettangolare possono servire identità di ordine diverso a sinistra e a destra.

I pedici indicano le dimensioni necessarie

Se $A$ ha $m$ righe e $n$ colonne, allora $I_{m}A=A$ e $A{I}_n=A$. L'identità a sinistra ha ordine $m$, così le sue colonne corrispondono alle righe di $A$. Quella a destra ha ordine $n$. Scrivere soltanto $I$ è comodo quando l'ordine richiesto è già chiaro dal contesto.

In forma per componenti, l'identità usa il delta di Kronecker: l'elemento vale uno se gli indici di riga e colonna coincidono, zero altrimenti. La diagonale principale va dall'angolo superiore sinistro a quello inferiore destro. Una matrice con elementi uguali a uno sulla diagonale secondaria è un'altra matrice di permutazione, non l'identità.

Esempio svolto con una matrice due per tre

Sia $A$ una matrice con due righe e tre colonne. Moltiplicando a sinistra per $I_2$, ogni riga del risultato seleziona la riga corrispondente di $A$. Moltiplicando a destra per $I_3$, ogni colonna seleziona la colonna corrispondente. In entrambi i casi ogni elemento resta al suo posto.

I prodotti $I_{3}A$ e $A{I}_2$ non sono soltanto diversi: non sono definiti, perché le dimensioni interne non coincidono. Il controllo delle dimensioni va eseguito prima della moltiplicazione elemento per elemento.

Proprietà che derivano dal ruolo neutro

Per ogni intero non negativo $k$, si ha $I_{n^k}=I_n$. Il determinante vale 1 e la traccia vale $n$. L'identità coincide con la propria trasposta e con la propria inversa. Tutti gli autovalori sono uno, perché ogni vettore conserva direzione e modulo. Soltanto in convenzioni specialistiche l'oggetto di ordine zero può essere insieme identità e matrice nulla; non accade per una matrice ordinaria di ordine positivo.

L'identità moltiplicativa è unica. Se due matrici compatibili $E$ e $F$ lasciassero invariata ogni matrice, allora $E=EF=F$. Questo breve argomento spiega perché un'algebra di matrici non ha più identità concorrenti dello stesso ordine.

Perché compare nell'eliminazione e nelle trasformazioni

La matrice aumentata $[A\mid I]$ si usa nell'eliminazione di Gauss-Jordan perché le operazioni che trasformano $A$ in $I$ agiscono nello stesso modo sul blocco destro. Se il procedimento riesce, quel blocco diventa $A^{-1}$. Nel sistema $Ax=b$, arrivare a $Ix=A^{-1}b$ rende esplicito il vettore soluzione.

In geometria, $I_2$ manda ogni punto $(x,y)$ in se stesso. Altre matrici dilatano, ruotano, riflettono o deformano il piano. L'identità è il riferimento rispetto al quale si confrontano queste trasformazioni e la possibilità di invertirle. La matrice inversa mostra quando una trasformazione può essere disfatta.