Enhetsmatris: definition, egenskaper och exempel

En enhetsmatris är matrisernas motsvarighet till talet ett vid multiplikation. Den är kvadratisk, har ettor på huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser. Multiplikation med en enhetsmatris av rätt storlek lämnar den andra matrisen oförändrad. Ordningen spelar roll. En rektangulär matris kan behöva en enhetsmatris av en viss ordning till vänster och en av en annan ordning till höger.

Indexen visar vilka dimensioner som krävs

Om $A$ har $m$ rader och $n$ kolumner gäller $I_{m}A=A$ och $A{I}_n=A$. Enhetsmatrisen till vänster måste ha $m$ rader och kolumner, så att dess kolumner stämmer med raderna i $A$. Enhetsmatrisen till höger måste ha ordningen $n$. Att bara skriva $I$ är praktiskt endast när den nödvändiga ordningen framgår av sammanhanget.

I elementnotation använder enhetsmatrisen Kroneckerdeltat. Elementet är ett när rad- och kolumnindex är lika och noll annars. Huvuddiagonalen löper från det övre vänstra hörnet till det nedre högra. Ettor på den motsatta diagonalen ger en annan permutationsmatris, inte enhetsmatrisen.

Exempel med en matris som har två rader och tre kolumner

Låt $A$ ha två rader och tre kolumner. Multiplicera med $I_2$ från vänster. Varje rad i resultatet väljer motsvarande rad i $A$. Multiplicera med $I_3$ från höger. Varje kolumn i resultatet väljer motsvarande kolumn i $A$. I båda fallen stannar varje element på sin plats.

Produkterna $I_{3}A$ och $A{I}_2$ är inte bara olika. De är odefinierade eftersom deras inre dimensioner inte stämmer överens. Kontrollera dimensionerna innan du börjar multiplicera rader med kolumner.

Egenskaperna följer av enhetsmatrisens neutrala roll

För varje icke-negativt heltal $k$ gäller $I_{n^k}=I_n$. Determinanten och spåret är 1 respektive $n$. Matrisen är sin egen transponat och sin egen invers. Alla dess egenvärden är ett, eftersom varje vektor behåller både riktning och längd. Det enda fall där en enhetsmatris också fungerar som nollmatris är objektet av ordning noll i specialiserade konventioner, inte en vanlig matris av positiv ordning.

Den multiplikativa enheten är unik. Om två förenliga matriser $E$ och $F$ båda lämnar varje matris oförändrad, gäller $E=EF=F$. Det korta resonemanget visar varför en matrisalgebra inte har flera konkurrerande enhetsmatriser av samma ordning.

Därför används enhetsmatriser vid elimination och transformationer

En utökad matris $[A\mid I]$ används vid Gauss-Jordan-elimination, eftersom radoperationerna som omvandlar $A$ till $I$ utför samma transformationer på blocket till höger. Om processen lyckas blir det högra blocket $A^{-1}$. I ekvationssystemet $Ax=b$ gör steget till $Ix=A^{-1}b$ lösningsvektorn synlig.

I geometrin avbildar $I_2$ varje punkt $(x,y)$ på sig själv. Andra matriser sträcker, roterar, speglar eller skjuvar planet. Enhetsmatrisen är utgångsläget som sådana transformationer och deras omvändningar jämförs med. Fortsätt med invers matris för att se när en transformation kan göras ogjord.