Macierz jednostkowa: definicja, własności i przykłady

Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy rolę liczby jeden. Jest kwadratowa, ma jedynki na przekątnej głównej i zera poza nią. Pomnożenie przez zgodną macierz jednostkową pozostawia drugą macierz bez zmian. Stopień ma znaczenie: macierz prostokątna może wymagać innej jednostki z lewej i innej z prawej strony.

Indeksy wskazują wymagane wymiary

Jeżeli $A$ ma $m$ wierszy i $n$ kolumn, to $I_{m}A=A$ oraz $A{I}_n=A$. Lewa macierz jednostkowa ma stopień $m$, dzięki czemu jej kolumny pasują do wierszy $A$. Prawa ma stopień $n$. Zapis samego $I$ jest wygodny tylko wtedy, gdy potrzebny stopień wynika jednoznacznie z kontekstu.

W zapisie elementowym macierz używa delty Kroneckera: element wynosi jeden, gdy indeks wiersza i kolumny są równe, a zero w przeciwnym razie. Przekątna główna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu. Jedynki na przekątnej przeciwnej tworzą inną macierz permutacji, a nie macierz jednostkową.

Przykład z macierzą dwa na trzy

Niech $A$ ma dwa wiersze i trzy kolumny. Przy mnożeniu przez $I_2$ z lewej strony każdy wiersz wyniku wybiera odpowiadający mu wiersz $A$. Mnożenie przez $I_3$ z prawej sprawia, że każda kolumna wybiera odpowiednią kolumnę. W obu działaniach każdy element pozostaje na swoim miejscu.

Iloczyny $I_{3}A$ oraz $A{I}_2$ nie dają po prostu innych wyników, lecz w ogóle nie są określone, ponieważ ich wymiary wewnętrzne nie pasują. Zgodność wymiarów trzeba sprawdzić przed mnożeniem poszczególnych elementów.

Własności wynikające z roli elementu neutralnego

Dla każdego nieujemnego całkowitego $k$ zachodzi $I_{n^k}=I_n$. Wyznacznik wynosi 1, a ślad $n$. Macierz jest równa swojej transpozycji i odwrotności. Wszystkie jej wartości własne wynoszą jeden, ponieważ każdy wektor zachowuje kierunek i długość. Tylko w specjalistycznej konwencji obiekt stopnia zero może być jednocześnie jednostkowy i zerowy; nie dotyczy to zwykłych macierzy dodatniego stopnia.

Element neutralny mnożenia jest jednoznaczny. Jeśli zgodne macierze $E$ i $F$ pozostawiałyby każdą macierz bez zmian, to $E=EF=F$. Ten krótki argument wyjaśnia, dlaczego algebra macierzy nie ma kilku konkurencyjnych jednostek tego samego stopnia.

Zastosowanie w eliminacji i przekształceniach

Macierz rozszerzona $[A\mid I]$ pojawia się w eliminacji Gaussa-Jordana, ponieważ operacje zamieniające $A$ w $I$ działają jednocześnie na prawy blok. Jeśli proces się powiedzie, prawy blok staje się $A^{-1}$. W układzie $Ax=b$ otrzymanie $Ix=A^{-1}b$ ujawnia wektor rozwiązania.

W geometrii $I_2$ odwzorowuje każdy punkt $(x,y)$ w niego samego. Inne macierze rozciągają, obracają, odbijają lub ścinają płaszczyznę. Jednostka jest punktem odniesienia dla tych przekształceń i ich odwracania. Macierz odwrotna pokazuje, kiedy przekształcenie można cofnąć.

Macierz jednostkowa nie jest macierzą zerową ani macierzą samych jedynek

Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania, ponieważ $A+O=A$, lecz iloczyn z nią zwykle daje zero zamiast zachować $A$. Macierz z jedynkami w każdej pozycji także nie jest jednostkowa: w mnożeniu sumuje elementy całych wierszy lub kolumn. Tylko układ jedynek na przekątnej i zer poza nią wybiera dokładnie jedną odpowiadającą współrzędną.

Każda macierz jednostkowa jest diagonalna, ale nie każda macierz diagonalna jest jednostkowa. Diagonalna macierz z wartościami 2, 3 i 4 skaluje trzy osie różnymi czynnikami. Dopiero wartości 1, 1 i 1 pozostawiają każdy wektor bez zmian. To rozróżnienie jest szczególnie ważne przy potęgach, wyznacznikach i opisie przekształceń.