Macierz odwrotna: wzór, warunki i przykłady

Macierz odwrotna cofa działanie kwadratowego przekształcenia liniowego. Dla macierzy kwadratowej $A$ odwrotność $A^{-1}$ spełnia równocześnie $A{A}^{-1}=I$ oraz $A^{-1}A=I$. Wykładnik minus jeden nie oznacza odwrotności każdego elementu. Jest to odwrotność względem mnożenia macierzy, w którym kolejność i wymiary mają znaczenie.

Niezerowy wyznacznik jest kryterium dla macierzy kwadratowej

Macierz kwadratowa jest odwracalna dokładnie wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Wyznacznik zero oznacza, że przekształcenie spłaszcza pewien niezerowy kierunek. Różne wektory wejściowe mogą dać ten sam wynik i żadna dwustronna odwrotność ich nie odzyska. Taką macierz nazywa się osobliwą.

Dla macierzy dwa na dwa wyznacznik jest równy $ad-bc$. Zamieniamy miejscami elementy diagonalne $a$ i $d$, zmieniamy znaki $b$ i $c$, a potem dzielimy wszystkie elementy przez wyznacznik. Wzór działa wyłącznie, gdy mianownik nie jest zerem.

Zbadaj macierz dwa na dwa i jej odwrotność

Zmieniaj elementy, aby obserwować przekształcony kwadrat, wyznacznik i macierz odwrotną.

Element aElement bElement cElement d

Przykład: obliczenie i sprawdzenie odwrotności

Weźmy macierz $A$ o wierszach $(2,1)$ i $(5,3)$. Jej wyznacznik to $2\times 3-1\times 5=1$, więc macierz jest odwracalna. Reguła dwa na dwa daje wiersze $(3,-1)$ i $(-5,2)$. Mnożenie w obu kolejnościach prowadzi do macierzy jednostkowej.

Wyznacznik równy jeden sprawia, że rachunki w przykładzie pozostają całkowite. Dla innego niezerowego wyznacznika pojawiłyby się ułamki, które warto zachować w postaci dokładnej, dopóki przybliżenie dziesiętne nie jest potrzebne.

Jedna odwrotność rozwiązuje układy o tej samej macierzy

W równaniu $Ax=b$ mnożymy z lewej strony przez $A^{-1}$. Łączność daje $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, zatem $x=A^{-1}b$. Dla poprzedniej macierzy i $b=(7,19)$ iloczyn daje $x=(2,3)$. Podstawienie potwierdza $2\times 2+1\times 3=7$ oraz $5\times 2+3\times 3=19$.

Obliczanie pełnej odwrotności nie zawsze jest najlepszą metodą numeryczną dla pojedynczego dużego układu. Bezpośrednia faktoryzacja może wymagać mniej pracy i lepiej znosić zaokrąglenia. Odwrotność jest przydatna, gdy wiele prawych stron korzysta z tej samej macierzy albo celem jest opis symboliczny.

Eliminacja Gaussa-Jordana działa również dla większych macierzy

Obok $A$ umieszczamy macierz jednostkową w tablicy rozszerzonej. Do całej tablicy stosujemy poprawne operacje elementarne. Jeśli lewa strona stanie się macierzą jednostkową, prawa jest odwrotnością. Jeżeli potrzebnego elementu głównego nie można utworzyć, a z lewej pozostaje wiersz zerowy, macierz jest osobliwa.

Zamiana wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę niezerową i dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego są odwracalne. Stosowanie tych samych operacji do bloku jednostkowego stopniowo buduje macierz odwrotną. Metoda sprawdza też odwracalność bez wcześniejszego rozwijania wyznacznika wysokiego stopnia.

Odwrotność iloczynu zmienia kolejność

Jeśli $A$ i $B$ są odwracalne, a ich iloczyn jest określony, to ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Kolejność się odwraca, ponieważ $B^{-1}$ musi najpierw cofnąć działanie $B$. Ponadto ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ oraz ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ dla całkowitych potęg, dla których wyrażenia są określone.

Niezerowy wyznacznik dowodzi dokładnej odwracalności, ale sam nie gwarantuje stabilności numerycznej obliczeń. Wyznacznik zależy od skali macierzy, dlatego jego wartość bezwzględna nie jest wiarygodną samodzielną miarą wrażliwości. W obliczeniach numerycznych bada się zamiast tego uwarunkowanie, często za pomocą wskaźnika uwarunkowania: jego duża wartość oznacza, że małe błędy danych lub zaokrągleń mogą wywołać znacznie większe zmiany rozwiązania albo obliczonej macierzy odwrotnej.