Käänteismatriisi: kaava, ehdot ja esimerkit

Käänteismatriisi peruu neliömatriisin kuvaaman lineaarikuvauksen. Neliömatriisin $A$ käänteismatriisi $A^{-1}$ toteuttaa sekä $A{A}^{-1}=I$ että $A^{-1}A=I$. Eksponentti miinus yksi ei tarkoita jokaisen alkion käänteisluvun ottamista. Se tarkoittaa matriisikertolaskun suhteen käänteistä matriisia, jossa järjestyksellä ja mitoilla on merkitystä.

Neliömatriisin testi on nollasta poikkeava determinantti

Neliömatriisi on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti ei ole nolla. Nolladeterminantti tarkoittaa, että lineaarikuvaus litistää jonkin nollasta poikkeavan suunnan. Eri syötteet voivat silloin antaa saman tuloksen, eikä kaksipuolinen käänteismatriisi voi palauttaa niitä. Tällaista matriisia kutsutaan singulaariseksi.

Toisen kertaluvun matriisin determinantti on $ad-bc$. Vaihda lävistäjäalkioiden $a$ ja $d$ paikat, vaihda alkioiden $b$ ja $c$ etumerkit ja jaa jokainen saatu alkio determinantilla. Kaava on voimassa vain, kun nimittäjä ei ole nolla.

Tutki toisen kertaluvun matriisia ja sen käänteismatriisia

Muuta alkioita ja tarkkaile muunnettua neliötä, determinanttia ja käänteismatriisia.

Alkio aAlkio bAlkio cAlkio d

Laskettu esimerkki: laske ja tarkista käänteismatriisi

Tarkastellaan matriisia $A$, jonka rivit ovat $(2,1)$ ja $(5,3)$. Sen determinantti on $2\times 3-1\times 5=1$, joten matriisi on kääntyvä. Toisen kertaluvun säännöllä saadaan rivit $(3,-1)$ ja $(-5,2)$. Kertominen kummassa tahansa järjestyksessä antaa yksikkömatriisin.

Täsmälleen yhden suuruinen determinantti pitää tämän esimerkin laskutoimitukset kokonaislukuina. Jos determinantti olisi jokin muu nollasta poikkeava luku, syntyisi murtolukuja. Ne kannattaa säilyttää tarkkoina, kunnes desimaalinen likiarvo todella tarvitaan.

Käänteismatriisi ratkaisee kaikki saman kerroinmatriisin yhtälöryhmät

Yhtälössä $Ax=b$ kerrotaan vasemmalta matriisilla $A^{-1}$. Liitännäisyys antaa $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, joten $x=A^{-1}b$. Kun käytetään edellistä matriisia ja vektoria $b=(7,19)$, tuloksi saadaan $x=(2,3)$. Sijoittaminen tarkistaa, että $2\times 2+1\times 3=7$ ja $5\times 2+3\times 3=19$.

Koko käänteismatriisin laskeminen ei aina ole paras numeerinen menetelmä yhden suuren yhtälöryhmän ratkaisemiseen. Suora hajotelma voi vaatia vähemmän työtä ja käyttäytyä paremmin pyöristysten yhteydessä. Käänteismatriisi on silti hyödyllinen, kun usealla oikealla puolella on sama matriisi tai kun juuri symbolinen rakenne on tutkimuksen kohde.

Gaussin-Jordanin eliminointi toimii myös toista kertalukua suuremmilla matriiseilla

Aseta $A$ ja yksikkömatriisi vierekkäin laajennettuun matriisiin. Tee sallitut alkeisrivioperaatiot koko matriisille. Jos vasemmasta puolesta tulee yksikkömatriisi, oikea puoli on käänteismatriisi. Jos tarvittavaa pivot-alkiota ei saada muodostettua ja vasemmalle jää nollarivi, matriisi on singulaarinen.

Rivien vaihtaminen, rivin kertominen nollasta poikkeavalla skalaarilla ja yhden rivin monikerran lisääminen toiseen ovat kääntyviä operaatioita. Kun ne kirjataan yksikkömatriisilohkoon, niiden käänteiset vaikutukset yhdistyvät. Menetelmä tarkistaa samalla kääntyvyyden ilman suuren determinantin kehittämistä etukäteen.

Tulo- ja transpoosisäännöt säilyttävät käänteisen järjestyksen

Jos $A$ ja $B$ ovat kääntyviä ja niiden tulo on määritelty, niin ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Järjestys vaihtuu, koska matriisin $B^{-1}$ on ensin peruttava matriisin $B$ vaikutus. Lisäksi ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ ja ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ niillä kokonaislukupotensseilla, joilla lausekkeet on määritelty.

Determinantin pieni itseisarvo ei yksin mittaa numeerista herkkyyttä, koska determinantin suuruus riippuu matriisin skaalauksesta. Matriisi voi olla tarkasti kääntyvä mutta silti huonosti ehdollistettu. Kuntoluku on oikea mitta sille, kuinka voimakkaasti pienet muutokset lähtötiedoissa tai pyöristyksissä voivat vaikuttaa ratkaisuun ja laskettuun käänteismatriisiin. Tarkka kääntyvyys ei siis takaa numeerista vakautta.