Yksikkömatriisi: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Yksikkömatriisi vastaa matriisien kertolaskussa lukua yksi. Se on neliömatriisi, jonka päälävistäjällä on ykkösiä ja kaikissa muissa kohdissa nollia. Kertominen yhteensopivalla yksikkömatriisilla jättää toisen matriisin ennalleen. Kertaluvulla on merkitystä: suorakulmainen matriisi voi tarvita vasemmalle yhden kertaluvun ja oikealle toisen kertaluvun yksikkömatriisin.

Yksikkömatriisin jokainen rivi ja sarake sisältää täsmälleen yhden ykkösen. Kertolaskussa tämä ykkönen säilyttää vastaavan komponentin, kun taas nollat estävät muiden komponenttien sekoittumisen siihen. Tulos ei siis ainoastaan näytä samalta: jokaisen alkion arvo ja paikka säilyvät.

Alaindeksit ilmaisevat tarvittavat mitat

Jos matriisissa $A$ on $m$ riviä ja $n$ saraketta, niin $I_{m}A=A$ ja $A{I}_n=A$. Vasemmalla olevan yksikkömatriisin on oltava kooltaan $m$ riviä ja yhtä monta saraketta, jotta sen sarakkeet vastaavat matriisin $A$ rivejä. Oikealla olevan yksikkömatriisin kertaluvun on oltava $n$. Pelkkä $I$ on kätevä merkintä vain silloin, kun tarvittava kertaluku selviää yksiselitteisesti asiayhteydestä.

Vasemmalta kerrottaessa yksikkömatriisin koko määräytyy matriisin rivien mukaan. Oikealta kerrottaessa koon määräävät sarakkeet. Tämä selittää, miksi suorakulmaisen matriisin kahdella puolella tarvitaan erikokoiset yksikkömatriisit.

Alkiomerkinnässä yksikkömatriisi käyttää Kroneckerin deltaa: alkio on yksi, kun rivi- ja sarakeindeksit ovat samat, ja muuten nolla. Päälävistäjä kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan. Ykkösistä muodostuva sivulävistäjä määrittää toisen permutaatiomatriisin, ei yksikkömatriisia.

Laskettu esimerkki kahden rivin ja kolmen sarakkeen matriisilla

Olkoon matriisissa $A$ kaksi riviä ja kolme saraketta. Kerro se vasemmalta matriisilla $I_2$. Jokainen tulosrivi valitsee matriisin $A$ vastaavan rivin. Kerro se oikealta matriisilla $I_3$. Jokainen tulossarake valitsee matriisin $A$ vastaavan sarakkeen. Molemmissa tapauksissa jokainen alkio pysyy paikallaan.

Tulot $I_{3}A$ ja $A{I}_2$ eivät ole vain erisuuria. Niitä ei ole määritelty, koska niiden sisemmät mitat eivät vastaa toisiaan. Mitat on tarkistettava ennen yhdenkään alkion kertomista. Esimerkki osoittaa samalla, että neutraali tehtävä ei poista matriisikertolaskun kokoehtoja. Sopimattoman kokoinen yksikkömatriisi ei anna väärää tulosta, vaan tuloa ei voi muodostaa lainkaan.

Ominaisuudet seuraavat neutraalin alkion tehtävästä

Jokaisella epänegatiivisella kokonaisluvulla $k$ pätee $I_{n^k}=I_n$. Determinantti on 1 ja jälki $n$. Yksikkömatriisi on oma transpoosinsa ja oma käänteismatriisinsa. Kaikki sen ominaisarvot ovat yksi, koska jokainen vektori säilyttää suuntansa ja pituutensa. Ainoa identiteetti, joka toimii samalla nollamatriisina, on erikoiskäytännöissä esiintyvä nollannen kertaluvun olio, ei tavallinen positiivisen kertaluvun matriisi. Transponointi ei muuta sitä, koska päälävistäjä pysyy paikallaan ja kaikki lävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat edelleen nollia.

Kertolaskun neutraali alkio on yksikäsitteinen. Jos kaksi yhteensopivaa matriisia $E$ ja $F$ jättävät jokaisen matriisin muuttumattomaksi, niin $E=EF=F$. Lyhyt perustelu kertoo, miksi samassa matriisialgebrassa ei ole useita keskenään kilpailevia saman kertaluvun yksikkömatriiseja.

Miksi yksikkömatriisi esiintyy eliminoinnissa ja muunnoksissa?

Laajennettua matriisia $[A\mid I]$ käytetään Gaussin-Jordanin eliminoinnissa, koska rivioperaatiot muuttavat matriisin $A$ matriisiksi $I$ ja tekevät samalla samat muunnokset oikeanpuoleiseen lohkoon. Jos prosessi onnistuu, oikeasta lohkosta tulee $A^{-1}$. Yhtälöryhmässä $Ax=b$ muoto $Ix=A^{-1}b$ tuo ratkaisuvektorin suoraan näkyviin.

Geometriassa $I_2$ kuvaa jokaisen pisteen $(x,y)$ itselleen. Muut matriisit venyttävät, kiertävät, peilaavat tai leikkaavat tasoa. Yksikkömatriisi toimii vertailukohtana näille muunnoksille ja niiden perumiselle. Jatka käänteismatriisiin, jotta näet, milloin muunnos voidaan perua.