Einheitsmatrix: Definition, Eigenschaften und Beispiele

Eine Einheitsmatrix übernimmt bei der Matrizenmultiplikation die Rolle der Zahl eins. Sie ist quadratisch, enthält auf ihrer Hauptdiagonalen Einsen und an allen anderen Stellen Nullen. Die Multiplikation mit einer kompatiblen Einheitsmatrix lässt die andere Matrix unverändert. Ihre Ordnung ist entscheidend: Eine rechteckige Matrix kann links und rechts Einheitsmatrizen verschiedener Ordnung benötigen.

Die Indizes geben die erforderlichen Dimensionen an

Hat $A$ genau $m$ Zeilen und $n$ Spalten, dann gilt $I_{m}A=A$ und $A{I}_n=A$. Die linke Einheitsmatrix muss $m$ Zeilen und Spalten haben, damit ihre Spaltenzahl zur Zeilenzahl von $A$ passt. Die rechte Einheitsmatrix braucht die Ordnung $n$. Ein bloßes $I$ ist nur dann praktisch, wenn die benötigte Ordnung aus dem Zusammenhang eindeutig hervorgeht.

In Komponentenschreibweise verwendet die Einheitsmatrix das Kronecker-Delta: Ein Eintrag ist eins, wenn Zeilen- und Spaltenindex übereinstimmen, andernfalls null. Die Hauptdiagonale verläuft von links oben nach rechts unten. Einsen auf der Gegendiagonalen bilden eine andere Permutationsmatrix und nicht die Einheitsmatrix.

Rechenbeispiel mit einer Zwei-mal-drei-Matrix

Die Matrix $A$ habe zwei Zeilen und drei Spalten. Multipliziere links mit $I_2$. Jede Ergebniszeile übernimmt die entsprechende Zeile von $A$. Multipliziere rechts mit $I_3$. Jede Ergebnisspalte übernimmt die entsprechende Spalte von $A$. In beiden Fällen bleibt jeder Eintrag an seinem Platz.

Die Produkte $I_{3}A$ und $A{I}_2$ sind nicht bloß ungleich. Sie sind nicht definiert, weil ihre inneren Dimensionen nicht übereinstimmen. Die Dimensionen sollten geprüft werden, bevor eine einzige Zeile mit einer Spalte multipliziert wird.

Eigenschaften folgen aus der Rolle als neutrales Element

Für jede nicht negative ganze Zahl $k$ gilt $I_{n^k}=I_n$. Determinante und Spur sind 1 beziehungsweise $n$. Die Einheitsmatrix ist ihre eigene Transponierte und ihre eigene Inverse. Alle Eigenwerte sind eins, weil jeder Vektor Richtung und Länge beibehält. Nur das Objekt der Ordnung null kann in speziellen Konventionen zugleich Einheits- und Nullmatrix sein; für eine gewöhnliche Matrix positiver Ordnung gilt das nicht.

Das neutrale Element der Multiplikation ist eindeutig. Lassen zwei kompatible Matrizen $E$ und $F$ jede Matrix unverändert, dann gilt $E=EF=F$. Dieses kurze Argument zeigt, warum eine Matrizenalgebra nicht mehrere konkurrierende Einheitsmatrizen derselben Ordnung besitzt.

Warum Einheitsmatrizen bei Elimination und Transformationen auftreten

Bei der Gauß-Jordan-Elimination verwendet man eine erweiterte Matrix $[A\mid I]$, weil dieselben Zeilenoperationen, die $A$ in $I$ überführen, auch auf den rechten Block wirken. Gelingt der Vorgang, wird dieser rechte Block zu $A^{-1}$. In einem Gleichungssystem $Ax=b$ legt der Schritt zu $Ix=A^{-1}b$ den Lösungsvektor offen.

In der Geometrie bildet $I_2$ jeden Punkt $(x,y)$ auf sich selbst ab. Andere Matrizen strecken, drehen, spiegeln oder scheren die Ebene. Die Einheitsmatrix ist der Ausgangspunkt, mit dem solche Transformationen und ihre Umkehrungen verglichen werden. Unter inverse Matrix erfährst du, wann sich eine Transformation rückgängig machen lässt.