Enhedsmatrix: definition, egenskaber og eksempler

En enhedsmatrix er matricernes modstykke til tallet en i multiplikation. Den er kvadratisk, har ettaller på hoveddiagonalen og nuller alle andre steder. Multiplikation med en kompatibel enhedsmatrix efterlader den anden matrix uændret. Ordenen har betydning: En rektangulær matrix kan kræve en enhedsmatrix af én orden på venstre side og en anden orden på højre side.

Indekserne viser de nødvendige dimensioner

Hvis $A$ har $m$ rækker og $n$ søjler, gælder $I_{m}A=A$ og $A{I}_n=A$. Enhedsmatricen til venstre skal have $m$ rækker og søjler, så dens søjler passer til rækkerne i $A$. Enhedsmatricen til højre skal være af orden $n$. Det er kun praktisk at skrive et enkelt $I$, når den nødvendige orden fremgår klart af sammenhængen.

I elementnotation bruger enhedsmatricen Kroneckers delta: Et element er en, når række- og søjleindekset er ens, og nul ellers. Hoveddiagonalen løber fra øverste venstre hjørne til nederste højre. En moddiagonal af ettaller definerer en anden permutationsmatrix, ikke enhedsmatricen.

Gennemregnet eksempel med en to gange tre-matrix

Lad $A$ have to rækker og tre søjler. Gang med $I_2$ fra venstre. Hver resultatrække vælger den tilsvarende række i $A$. Gang med $I_3$ fra højre. Hver resultatsøjle vælger den tilsvarende søjle i $A$. I begge tilfælde bliver hvert element på sin plads.

Produkterne $I_{3}A$ og $A{I}_2$ er ikke blot forskellige; de er ikke defineret, fordi de indre dimensioner ikke passer sammen. Dimensionerne skal kontrolleres, før en elementvis multiplikation påbegyndes.

Egenskaberne følger af rollen som neutralt element

For ethvert ikke-negativt heltal $k$ gælder $I_{n^k}=I_n$. Determinanten og sporet er henholdsvis 1 og $n$. Enhedsmatricen er sin egen transponerede matrix og sin egen inverse matrix. Alle dens egenværdier er en, fordi enhver vektor bevarer retning og længde. Den eneste identitet, der også fungerer som nulmatrix, er objektet af orden nul i særlige konventioner, ikke en almindelig matrix af positiv orden.

Det neutrale element for multiplikation er entydigt. Hvis to kompatible matricer $E$ og $F$ begge efterlader enhver matrix uændret, så er $E=EF=F$. Det korte argument forklarer, hvorfor en matrixalgebra ikke har flere konkurrerende enhedsmatricer af samme orden.

Hvorfor enhedsmatricer optræder i elimination og transformationer

En totalmatrix $[A\mid I]$ bruges i Gauss-Jordan-elimination, fordi rækkeoperationer, som omdanner $A$ til $I$, anvender de samme transformationer på blokken til højre. Hvis processen lykkes, bliver den højre blok til $A^{-1}$. I et system $Ax=b$ viser formen $Ix=A^{-1}b$ løsningsvektoren direkte.

I geometri afbilder $I_2$ hvert punkt $(x,y)$ i sig selv. Andre matricer strækker, drejer, spejler eller forskyder planen. Enhedsmatricen er udgangspunktet for sammenligningen af disse transformationer og deres ophævelse. Fortsæt med den inverse matrix for at se, hvornår en transformation kan ophæves.