Identitetsmatrise: definisjon, egenskaper og eksempler

En identitetsmatrise er matrisenes motstykke til tallet én i multiplikasjon. Den er kvadratisk, har ettall på hoveddiagonalen og nuller alle andre steder. Multiplikasjon med en kompatibel identitetsmatrise lar den andre matrisen være uendret. Ordenen har betydning: En rektangulær matrise kan trenge en identitetsmatrise av én orden på venstre side og en annen orden på høyre side.

Indeksene viser de nødvendige dimensjonene

Hvis $A$ har $m$ rader og $n$ kolonner, gjelder $I_{m}A=A$ og $A{I}_n=A$. Identitetsmatrisen på venstre side må ha $m$ rader og kolonner, slik at kolonnene passer til radene i $A$. Identitetsmatrisen på høyre side må ha orden $n$. Det er bare praktisk å skrive en enkelt $I$ når den nødvendige ordenen går klart frem av sammenhengen.

I elementnotasjon bruker identitetsmatrisen Kroneckers delta: Et element er én når rad- og kolonneindeksen er like, og null ellers. Hoveddiagonalen går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre. En antidiagonal av ettall definerer en annen permutasjonsmatrise, ikke identitetsmatrisen.

Gjennomregnet eksempel med en to ganger tre-matrise

La $A$ ha to rader og tre kolonner. Multipliser med $I_2$ fra venstre. Hver resultatrad velger den tilsvarende raden i $A$. Multipliser med $I_3$ fra høyre. Hver resultatkolonne velger den tilsvarende kolonnen i $A$. I begge tilfeller forblir hvert element på samme plass.

Produktene $I_{3}A$ og $A{I}_2$ er ikke bare forskjellige; de er ikke definert fordi de indre dimensjonene ikke passer sammen. Dimensjonene må kontrolleres før noen elementvis multiplikasjon begynner.

Egenskapene følger av rollen som nøytralt element

For hvert ikke-negativt heltall $k$ gjelder $I_{n^k}=I_n$. Determinanten og sporet er henholdsvis 1 og $n$. Identitetsmatrisen er sin egen transponerte matrise og sin egen inverse. Alle egenverdiene er én fordi hver vektor beholder retning og lengde. Den eneste identiteten som også fungerer som nullmatrise, er objektet av orden null i spesialiserte konvensjoner, ikke en vanlig matrise av positiv orden.

Det nøytrale elementet for multiplikasjon er entydig. Hvis to kompatible matriser $E$ og $F$ begge lar enhver matrise være uendret, er $E=EF=F$. Det korte argumentet forklarer hvorfor en matrisealgebra ikke har flere konkurrerende identitetsmatriser av samme orden.

Hvorfor identitetsmatriser brukes i eliminasjon og transformasjoner

En totalmatrise $[A\mid I]$ brukes i Gauss-Jordan-eliminasjon fordi radoperasjoner som gjør $A$ om til $I$, bruker de samme transformasjonene på blokken til høyre. Hvis prosessen lykkes, blir høyre blokk $A^{-1}$. I et system $Ax=b$ viser formen $Ix=A^{-1}b$ løsningsvektoren direkte.

I geometri avbilder $I_2$ hvert punkt $(x,y)$ på seg selv. Andre matriser strekker, roterer, speiler eller forskyver planet. Identitetsmatrisen er utgangspunktet som disse transformasjonene og reverseringene sammenlignes med. Fortsett med den inverse matrisen for å se når en transformasjon kan oppheves.