Invers matrise: formel, vilkår og eksempler

En invers matrise opphever en kvadratisk lineær transformasjon. For en kvadratisk matrise $A$ oppfyller en invers $A^{-1}$ både $A{A}^{-1}=I$ og $A^{-1}A=I$. Eksponenten minus én betyr ikke at hvert element skal erstattes med sin resiproke verdi. Den beskriver en invers under matrisemultiplikasjon, der rekkefølge og dimensjoner har betydning.

En determinant forskjellig fra null tester en kvadratisk matrise

En kvadratisk matrise er invertibel nøyaktig når determinanten ikke er null. En determinant lik null betyr at transformasjonen klapper sammen en retning som ikke er null. Ulike inndata kan da gi samme utdata, og ingen tosidig invers kan gjenopprette dem. En slik matrise kalles singulær.

For en to ganger to-matrise er determinanten $ad-bc$. Bytt plass på diagonalelementene $a$ og $d$, skift fortegn på $b$ og $c$, og del hvert resulterende element på determinanten. Formelen gjelder bare når nevneren ikke er null.

Utforsk en to ganger to-matrise og inversen

Endre elementene for å se det transformerte kvadratet, determinanten og den inverse matrisen.

Element aElement bElement cElement d

Gjennomregnet eksempel: beregn og kontroller inversen

Ta matrisen $A$ med radene $(2,1)$ og $(5,3)$. Determinanten er $2\times 3-1\times 5=1$, så matrisen er invertibel. Bruk regelen for to ganger to og få radene $(3,-1)$ og $(-5,2)$. Multiplikasjon i begge rekkefølger gir identitetsmatrisen.

Den eksakte determinanten én holder regningen i heltall i dette eksemplet. Hvis determinanten var et annet tall forskjellig fra null, ville det oppstå brøker. De bør beholdes eksakte til en desimaltilnærming faktisk er nødvendig.

Inversen løser alle systemer med samme koeffisientmatrise

I $Ax=b$ multipliserer du fra venstre med $A^{-1}$. Assosiativitet gir $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, slik at $x=A^{-1}b$. Med matrisen over og $b=(7,19)$ gir produktet $x=(2,3)$. Innsetting kontrollerer at $2\times 2+1\times 3=7$ og $5\times 2+3\times 3=19$.

Å beregne en full invers er ikke alltid den beste numeriske metoden for ett stort system. En direkte faktorisering kan kreve mindre arbeid og oppføre seg bedre ved avrunding. Inversen er fortsatt nyttig når mange høyresider deler samme matrise, eller når den symbolske strukturen i seg selv er målet.

Gauss-Jordan-eliminasjon virker også over orden to

Plasser $A$ ved siden av identitetsmatrisen i en totalmatrise. Utfør gyldige elementære radoperasjoner på hele matrisen. Hvis venstresiden blir identitetsmatrisen, er høyresiden inversen. Hvis en nødvendig pivot ikke kan lages og venstresiden beholder en nullrad, er matrisen singulær.

Å bytte rader, multiplisere en rad med en skalar forskjellig fra null og legge et multiplum av én rad til en annen er reversible operasjoner. Når de registreres på identitetsblokken, settes de inverse virkningene sammen. Metoden kontrollerer også invertibilitet uten først å utvikle en stor determinant.

Produkt- og transponeringsreglene bevarer den omvendte rekkefølgen

Hvis $A$ og $B$ er invertible og produktet er definert, gjelder ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Rekkefølgen snus fordi $B^{-1}$ først må oppheve $B$. Dessuten gjelder ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ og ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ for heltallige potenser der uttrykkene er definert.

En liten absolutt determinant er ikke alene et mål på numerisk følsomhet, fordi determinantens størrelse avhenger av skaleringen til matrisen. En matrise kan være eksakt invertibel og likevel dårlig kondisjonert. Kondisjonstallet er det relevante målet på hvor sterkt små endringer i data eller avrunding kan påvirke løsningen og den beregnede inversen. Eksakt invertibilitet garanterer derfor ikke numerisk stabilitet.