Matrice inversa: formula, condizioni ed esempi

Una matrice inversa annulla l'effetto di una trasformazione lineare quadrata. Per una matrice quadrata $A$, l'inversa $A^{-1}$ soddisfa sia $A{A}^{-1}=I$ sia $A^{-1}A=I$. L'esponente meno uno non indica il reciproco di ciascun elemento. Rappresenta l'inversa rispetto alla moltiplicazione matriciale, nella quale ordine e dimensioni sono essenziali.

Il determinante non nullo è il criterio per le matrici quadrate

Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Un determinante nullo significa che la trasformazione schiaccia almeno una direzione non nulla: vettori di partenza diversi possono avere la stessa immagine, quindi nessuna inversa valida da entrambi i lati può ricostruirli. La matrice è detta singolare.

Per una matrice due per due, il determinante è $ad-bc$. Si scambiano gli elementi diagonali $a$ e $d$, si cambia segno a $b$ e $c$, poi si divide ogni elemento per il determinante. La formula vale soltanto se il denominatore è diverso da zero.

Esplora una matrice due per due e la sua inversa

Modifica gli elementi per vedere il quadrato trasformato, il determinante e l'inversa.

Elemento aElemento bElemento cElemento d

Esempio svolto: calcolo e verifica dell'inversa

Consideriamo $A$ con righe $(2,1)$ e $(5,3)$. Il determinante è $2\times 3-1\times 5=1$, quindi la matrice è invertibile. La regola due per due dà le righe $(3,-1)$ e $(-5,2)$. Moltiplicando nei due ordini si ottiene l'identità.

Il determinante uguale a uno mantiene interi i calcoli di questo esempio. Con un altro determinante non nullo comparirebbero frazioni, da conservare esatte finché non serve davvero un'approssimazione decimale.

L'inversa risolve tutti i sistemi con gli stessi coefficienti

Nel sistema $Ax=b$, moltiplichiamo a sinistra per $A^{-1}$. Per associatività, $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, dunque $x=A^{-1}b$. Con la matrice precedente e $b=(7,19)$, il prodotto dà $x=(2,3)$. La sostituzione conferma $2\times 2+1\times 3=7$ e $5\times 2+3\times 3=19$.

Calcolare l'inversa completa non è sempre il metodo numerico migliore per un solo sistema grande. Una fattorizzazione diretta può richiedere meno lavoro e comportarsi meglio con gli arrotondamenti. L'inversa resta utile quando molti termini noti condividono la stessa matrice o quando interessa la struttura simbolica.

Gauss-Jordan funziona anche oltre l'ordine due

Si affianca ad $A$ la matrice identità in una matrice aumentata e si applicano operazioni elementari valide all'intero insieme. Se il blocco sinistro diventa l'identità, quello destro è l'inversa. Se non si riesce a creare un pivot necessario e a sinistra rimane una riga nulla, la matrice è singolare.

Scambio di righe, moltiplicazione di una riga per un numero non nullo e somma a una riga di un multiplo di un'altra sono operazioni reversibili. Applicate anche al blocco identità, queste operazioni costruiscono progressivamente l'inversa. Il metodo verifica inoltre l'invertibilità senza sviluppare prima un determinante di ordine elevato.

Nei prodotti l'ordine si inverte

Se $A$ e $B$ sono invertibili e il prodotto è definito, allora ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. L'ordine cambia perché $B^{-1}$ deve annullare per prima l'azione di $B$. Inoltre, ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ e ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ per gli esponenti interi per cui le espressioni hanno senso.

Un determinante diverso da zero dimostra l'invertibilità esatta, ma da solo non garantisce che l'inversione sia numericamente stabile. Il determinante dipende dalla scala della matrice, quindi il suo valore assoluto non è una misura affidabile della sensibilità. Nei calcoli numerici si valuta invece il condizionamento, spesso tramite il numero di condizionamento: se è grande, piccoli errori nei dati o negli arrotondamenti possono produrre variazioni molto maggiori nella soluzione o nell'inversa calcolata.