Inverse Matrix: Formel, Bedingungen und Beispiele

Eine inverse Matrix macht eine quadratische lineare Transformation rückgängig. Für eine quadratische Matrix $A$ erfüllt eine Inverse $A^{-1}$ sowohl $A{A}^{-1}=I$ als auch $A^{-1}A=I$. Der Exponent minus eins bedeutet nicht, von jedem Eintrag den Kehrwert zu nehmen. Er bezeichnet die Inverse bezüglich der Matrizenmultiplikation, bei der Reihenfolge und Dimensionen entscheidend sind.

Eine von null verschiedene Determinante ist das Kriterium

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von null verschieden ist. Bei einer Determinante von null bildet die Transformation mindestens einen von null verschiedenen Vektor auf den Nullvektor ab. Verschiedene Eingaben können dann dieselbe Ausgabe erzeugen, und keine beidseitige Inverse kann sie wieder unterscheiden. Eine solche Matrix heißt singulär.

Bei einer Zwei-mal-zwei-Matrix ist die Determinante $ad-bc$. Vertausche die Diagonaleinträge $a$ und $d$, ändere die Vorzeichen von $b$ und $c$ und teile jeden entstehenden Eintrag durch die Determinante. Diese Formel gilt nur, wenn der Nenner nicht null ist.

Eine Zwei-mal-zwei-Matrix und ihre Inverse untersuchen

Ändere die Einträge und beobachte das transformierte Quadrat, die Determinante und die Inverse.

Eintrag aEintrag bEintrag cEintrag d

Rechenbeispiel: Inverse berechnen und prüfen

Betrachte $A$ mit den Zeilen $(2,1)$ und $(5,3)$. Die Determinante ist $2\times 3-1\times 5=1$, also ist die Matrix invertierbar. Wende die Regel für Zwei-mal-zwei-Matrizen an. Die Inverse hat die Zeilen $(3,-1)$ und $(-5,2)$. Die Multiplikation in beiden Reihenfolgen ergibt die Einheitsmatrix.

Da die Determinante in diesem Beispiel exakt eins ist, bleiben alle Rechenschritte ganzzahlig. Bei einer anderen von null verschiedenen Determinante treten Brüche auf. Sie sollten exakt beibehalten werden, bis eine dezimale Näherung wirklich gebraucht wird.

Die Inverse löst jedes System mit derselben Koeffizientenmatrix

Multipliziere $Ax=b$ von links mit $A^{-1}$. Aus der Assoziativität folgt $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, also $x=A^{-1}b$. Für die obige Matrix und $b=(7,19)$ ergibt das Produkt $x=(2,3)$. Durch Einsetzen prüft man $2\times 2+1\times 3=7$ und $5\times 2+3\times 3=19$.

Für ein einziges großes Gleichungssystem ist die vollständige Berechnung der Inversen nicht immer das beste numerische Verfahren. Eine direkte Faktorisierung kann weniger Arbeit erfordern und sich beim Runden stabiler verhalten. Die Inverse bleibt nützlich, wenn viele rechte Seiten dieselbe Matrix verwenden oder wenn gerade die symbolische Struktur untersucht werden soll.

Gauß-Jordan-Elimination funktioniert auch bei größeren Matrizen

Stelle $A$ neben die Einheitsmatrix in eine erweiterte Matrix. Wende zulässige elementare Zeilenoperationen auf die gesamte erweiterte Matrix an. Wird die linke Seite zur Einheitsmatrix, steht rechts die Inverse. Lässt sich ein benötigtes Pivotelement nicht erzeugen und bleibt links eine Nullzeile bestehen, ist die Matrix singulär.

Zeilenvertauschungen, die Multiplikation einer Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl und das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen sind umkehrbar. Werden sie am Einheitsblock mitgeführt, setzen sich dort ihre inversen Wirkungen zusammen. Das Verfahren prüft damit zugleich die Invertierbarkeit, ohne vorher eine große Determinante vollständig auszurechnen.

Produkt- und Transpositionsregeln kehren die Reihenfolge um

Sind $A$ und $B$ invertierbar und ist ihr Produkt definiert, gilt ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Die Reihenfolge kehrt sich um, weil $B^{-1}$ zuerst die Wirkung von $B$ rückgängig machen muss. Außerdem gelten ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ und ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ für ganzzahlige Potenzen, für die die Ausdrücke definiert sind.

Auch eine exakt invertierbare Matrix kann numerisch empfindlich sein. Der Betrag ihrer Determinante allein ist dafür kein verlässliches Maß, weil er von der Skalierung der Matrix abhängt. Wie stark sich kleine Änderungen durch Messung oder Rundung auf die berechnete Inverse auswirken, wird üblicherweise anhand der Konditionszahl beurteilt. Exakte Invertierbarkeit und numerische Stabilität sind daher nicht dieselbe Eigenschaft.