Matriz inversa: fórmula, condições e exemplos

Uma matriz inversa desfaz uma transformação linear quadrada. Para uma matriz quadrada $A$, uma inversa $A^{-1}$ satisfaz simultaneamente $A{A}^{-1}=I$ e $A^{-1}A=I$. O expoente menos um não significa calcular o inverso de cada elemento. Indica uma inversa relativamente à multiplicação de matrizes, na qual a ordem e as dimensões são determinantes.

Um determinante não nulo é o teste para uma matriz quadrada

Uma matriz quadrada é invertível se, e só se, o seu determinante for diferente de zero. Um determinante nulo significa que a transformação colapsa alguma direção não nula; entradas diferentes podem então produzir a mesma saída e nenhuma inversa bilateral consegue recuperá-las. Uma matriz deste tipo chama-se singular.

Numa matriz de ordem dois, o determinante é $ad-bc$. Troque os elementos diagonais $a$ e $d$, mude os sinais de $b$ e $c$ e divida cada elemento obtido pelo determinante. A fórmula só é válida quando esse denominador não é zero.

Explore uma matriz de ordem dois e a respetiva inversa

Altere os elementos para observar o quadrado transformado, o determinante e a inversa.

Elemento aElemento bElemento cElemento d

Exemplo resolvido: calcular e verificar a inversa

Considere a matriz $A$ com linhas $(2,1)$ e $(5,3)$. O seu determinante é $2\times 3-1\times 5=1$, logo a matriz é invertível. Aplique a regra de ordem dois para obter as linhas $(3,-1)$ e $(-5,2)$. A multiplicação, em qualquer das ordens, produz a matriz identidade.

Neste exemplo, o determinante exatamente igual a um mantém todos os cálculos inteiros. Se o determinante fosse outro número não nulo, surgiriam frações, que deveriam ser conservadas de forma exata até ser realmente necessária uma aproximação decimal.

A inversa resolve todos os sistemas com a mesma matriz de coeficientes

Em $Ax=b$, multiplique à esquerda por $A^{-1}$. Pela associatividade, $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, logo $x=A^{-1}b$. Com a matriz anterior e $b=(7,19)$, o produto dá $x=(2,3)$. A substituição confirma que $2\times 2+1\times 3=7$ e $5\times 2+3\times 3=19$.

Calcular uma inversa completa nem sempre é o melhor método numérico para resolver um único sistema de grande dimensão. Uma fatorização direta pode exigir menos trabalho e comportar-se melhor perante o arredondamento. A inversa continua a ser útil quando vários membros direitos partilham a mesma matriz ou quando o objetivo é estudar a própria estrutura simbólica.

A eliminação de Gauss-Jordan funciona para ordens superiores a dois

Coloque $A$ ao lado da matriz identidade numa matriz aumentada. Aplique operações elementares válidas a toda a matriz. Se o lado esquerdo se transformar na identidade, o lado direito será a inversa. Se não for possível criar um pivô necessário e o lado esquerdo conservar uma linha nula, a matriz é singular.

Trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra são operações reversíveis. Registá-las no bloco identidade compõe os respetivos efeitos inversos. O método também verifica a invertibilidade sem exigir o desenvolvimento prévio de um determinante grande.

As regras do produto e da transposta conservam a inversão da ordem

Se $A$ e $B$ forem invertíveis e o produto estiver definido, então ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. A ordem inverte-se porque $B^{-1}$ tem de desfazer primeiro $B$. Além disso, ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ e ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ para potências inteiras nas quais as expressões estejam definidas.

Um determinante não nulo garante a invertibilidade exata, mas o seu valor absoluto, por si só, não mede a estabilidade numérica, pois depende da escala da matriz. Numa matriz mal condicionada, pequenas alterações de medição ou arredondamento podem provocar grandes mudanças na inversa calculada. A invertibilidade e o condicionamento são questões relacionadas, mas distintas.