Matriz Inversa

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Encontrar uma matriz inversa ou matriz invertível é uma forma de resolvermos equações matriciais que tem a forma A . X = B. Como não é possível realizar a operação de divisão com matrizes, os matemáticos criaram técnicas de forma que possamos fazer a inversão de matriz da mesma forma que fazemos para encontrar o inverso de um número real.

A multiplicação de uma matriz qualquer por sua inversa resulta na matriz identidade de mesma ordem. A matriz identidade é uma matriz em que os elementos da sua digonal principal são todos 1 (um) e o restante dos elementos são 0 (zeros). Com notação I_n.

Exemplo:

Definição de Matriz Inversa

Seja a matriz A_nxn, quadrada, ou seja, mesma quantidade de linhas e colunas, a matriz inversa para A é dada por A^-1_nxn, tal que:

A_nxn . A^-1_nxn = A^-1_nxn . A_nxn = I_nxn

Onde I_nxn é uma matriz identidade de ordem n, também quadrada.

Observação:

É importante lembrar que uma matriz pode não ser inversível. Se uma matriz A possuir inversa, dizemos que A é inversível, sendo que a sua inversa é uma matriz única. Se A não for inversível dizemos que A é uma matriz singular.

Como saber se uma matriz é inversível?

Para sabermos se uma matriz é inversível precisamos encontrar o seu determinante. Se o determinante de uma matriz for diferente de zero, então a matriz é inversível. Caso contrário ela não possui uma matriz inversa.

Dessa forma, podemos concluir que somente uma matriz quadrada possui inversa, já que somente podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada são matriz que possuem a mesma quantidade de linhas e colunas.

Como fazer a inversa de uma matriz?

Para calcularmos a inversa de uma matriz, usamos o método de resolução por sistemas lineares. Como vimos na definição acima, a multiplicação de uma matriz pela sua inversa tem como resultado uma matriz identidade. A partir disso podemos criar um sistema de equações lineares e calcular a inversa da matriz em questão.

Exemplo:

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, a inversa de A é A^-1, pela definição, se A é inversível então A . A^-1 = I_n.

Primeiramente para sabermos se A é inversível temos que calcular seu determinante. Então:

det (A) = 2 . 1 - 1 . 0 = 2 - 0 = 2

Como o determinante de A é diferente de zero, então A possui inversa e podemos continuar.

Por A . A^-1 = I_n temos que os elementos de A e da identidade são conhecidos, mas os elementos de A^-1 não sabemos quais são, então vamos definir as variáveis x, y, z e w como seus elementos. Assim:

Veja que substituímos A . A^-1 = I_n pelas matrizes em questão.

Próximo passo é realizar a multiplicação dos elementos de A pelos elementos de A^-1. Então:

Agora podemos montar um sistema de equações lineares de forma que possamos encontrar os valores para x, y, z e w. Vamos fazer a correspondência de cada elemento da matriz à esquerda corresponda com a matriz identidade à direita. Dessa forma, teremos dois sistemas:

É importante que as variáveis iguais fiquem no mesmo sistema, como w e z nos sistemas acima.

A partir dos sistemas montados, agora é só resolver. Assim:

Com os valores de x, y, z e w encontrados, então encontramos a matriz inversa de A. Portanto,

Verificando se A^-1 é mesmo a inversa de A

Pela definição temos que A . A^-1 = Iⁿ. Então vamos multiplicar A por A^-1 e ver se encontremos a matriz identidade.

Como encontramos uma matriz identidade, então A^-1 é a inversa de A.

Vamos ver um exemplo de uma matriz A de ordem 3.

Considere a matriz A a seguir, calcule a sua inversa A^-1:

Primeiro devemos verificar se A é inversível. Para matrizes quadradas de ordem 3 calculamos o determinante utilizando a regra de Sarrus.

Então, det (A) = 2 . 1 . 1 + 1 . 0 . 1 + 0 . 0 . 2 - 0 . 1 . 1 - 2 . 0 . 2 - 1 . 0 . 1 = 2, como det (A) ≠ 0, A é inversível.

Usando a definição de matriz inversa: A . A^-1 = Iⁿ. Vamos substituir as matrizes na fórmula.

Multiplicando A por A^-1 temos:

Fazendo a correspondência entre os elementos do lado esquerdo com os elementos da matriz identidade do lado direito, temos os seguintes sistemas.

Resolvendo o sistema acima, temos:

Logo,

Propriedades da Matriz Inversa

Considere A e B matrizes quadrada de mesma ordem, então:

(A^-1)^-1 = A: a matriz inversa da inversa de A é a própria matriz A.
(A^t)^-1 = (A^-1)^t: a matriz inversa da transposta de A é igual a transposta da matriz inversa de A.
(A . B)^-1 = B^-1 . A^-1: a matriz inversa do produto de A por B é igual ao produto das matrizes inversa de B pela inversa de A.

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Bons estudos! 😄

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Autor

by Jean Carlos Novaes

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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