Matriz Transposta: Definição e Propriedades

Uma matriz transposta é uma matriz gerada através da troca ordenada das linhas pelas colunas. A notação para a transposta de uma matriz A é At.

Índice do Artigo

Definição

Seja A = [aij]mxn uma matriz qualquer. Chamamos de transposta de A a matriz At = [aij]nxm. Ou seja, At é obtida a partir de A trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.

Perceba que na definição trocamos n por m na matriz transposta.

Onde:

Exemplo:

Considere a matriz A, abaixo, então At é:

Transposição de uma matriz qualquer

A matriz A é uma matriz de ordem 3×2, ou seja, 3 linhas e 2 colunas. Dessa forma, a matriz At terá ordem 2×3, 2 linhas e 3 colunas, pois trocamos as linhas pelas colunas.

Propriedades

Seja A e B matrizes, e a um número real qualquer, então:

Matriz Simétrica

Chamamos de matriz simétrica uma matriz quadrada – em que o número de linhas é igual ao número de colunas -, em que vale a igualdade: aij = aji.

A transposta de uma matriz simétrica A é a própria matriz A, então A = At.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Matriz simétrica

Então a transposta de A é At:

Matriz simétrica e transposta

Veja que independente de trocarmos as linhas pelas colunas de A, a sua transposta At é igual a matriz original A.

Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz -A. Para obter uma matriz oposta a outra basta trocarmos os sinais dos elementos da matriz A, sem trocar os elementos de posição.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Oposta

Então a oposta de A é -A, logo:

Oposta de A

Na matriz oposta apenas trocamos o sinal dos elementos sem trocar a posição dos elementos. Matriz oposta não é a mesma coisa que matriz transposta. Na transposta, nós transportamos os elementos de posição, na matriz oposta apenas mudamos o sinal dos elementos.

Matriz Antissimétrica

Chamamos uma matriz quadrada A de antissimétrica, se A for igual a oposta da transposta de A. Então, temos que: A = -At. Então, é equivalente dizer que aij = -aji.

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser, obrigatoriamente, nulos e os elementos que não pertencem a diagonal principal possuem sinais contrários.

Considere a matriz A a seguir:

Antissimétrica

Então a transposta de A é At, temos:

Transposta

Por fim, a oposta da transposta de A é -At:

Oposta

Logo, A = -At

Lembrando que matriz oposta é só trocar os sinais dos elementos da matriz original.

Leia também…

Matrizes

Matriz Identidade

Matrizes e Determinantes

Matriz Inversa

Tabuada

Encontrou algum erro? Nos avise clicando aqui

Authorby Jean Carlos Novaes