Matriz Transposta: Definição e Propriedades

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Uma matriz transposta é uma matriz gerada através da troca ordenada das linhas pelas colunas. A notação para a transposta de uma matriz A é A^t.

Índice do Artigo

Definição

Seja A = [a_ij]_mxn uma matriz qualquer. Chamamos de transposta de A a matriz A^t = [a_ij]_nxm, ou seja, A^t é obtida a partir de A trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.

Perceba que na definição trocamos n por m na matriz transposta.

Onde:

i é a posição da linha
j é a posição da coluna
a_ij um elemento de uma posição qualquer na matriz
m é o número de linhas na matriz
n é o número de colunas na matriz
A^t a transposta de A

Exemplo:

Considere a matriz A, abaixo, então A^t é:

A matriz A é uma matriz de ordem 3×2, ou seja, 3 linhas e duas colunas. Dessa forma, a matriz transposta A^t terá ordem 2×3, 2 linhas e 3 colunas pois trocamos as linhas pelas colunas.

Propriedades

Seja A e B matrizes e a um número real qualquer, então:

(A + B)^t = A^t + B^t: A transposta da soma de duas matrizes A e B é igual a soma da transposta de A com a transposta de B.
(a . A)^t = a . A^t: A transposta da multiplicação de um número real a pela matriz A é igual a multiplicação de a pela transposta de A.
(A^t)^t = A: A transposta da transposta de A é a própria matriz A
(A . B)^t = B^t . A^t: A transposta multiplicação da matriz A pela matriz B é igual ao produto da transposta de B pela transposta de A.
det(A) = det(A^t): O determinante de A é o mesmo determinante da sua transposta A^t.

Matriz Simétrica

Chamamos de matriz simétrica uma matriz quadrada – em que o número de linhas é igual ao número de colunas -, onde vale a igualdade: a_ij = a_ji.

A transposta de uma matriz simétrica A é a própria matriz A, então A = A^t.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Então a transposta de A é A^t:

Veja que independente de trocarmos as linhas pelas colunas de A, a sua transposta A^t é igual a matriz original A.

Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz -A. Para obter uma matriz oposta a outra basta trocarmos os sinais dos elementos da matriz A, sem trocar os elementos de posição.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Então a oposta de A é -A, logo:

Na matriz oposta apenas trocamos o sinal dos elementos sem trocar a posição dos elementos. Matriz oposta não é a mesma coisa que matriz transposta. Na transposta nós transportamos os elementos de posição, na matriz oposta apenas mudamos o sinal dos elementos.

Matriz Antissimétrica

Chamamos uma matriz quadrada A de antissimétrica, se A for igual a oposta da transposta de A. Então, temos que: A = -A^t. Então, é equivalente dizer que a_ij = -a_ji.

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser obrigatoriamente nulos e os elementos que não pertencem a diagonal principal possui sinais contrários.

Considere a matriz A a seguir: