Matriz Transposta: Definição e Propriedades

Página Inicial » Ensino Médio » Matriz » Matriz Transposta: Definição e Propriedades

Uma matriz transposta é uma matriz gerada através da troca ordenada das linhas pelas colunas. A notação para a transposta de uma matriz A é At.

CONTINUA DEPOIS DA PUBLICIDADE

Índice do Artigo

Definição

Seja A = [aij]mxn uma matriz qualquer. Chamamos de transposta de A a matriz At = [aij]nxm, ou seja, At é obtida a partir de A trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.

Perceba que na definição trocamos n por m na matriz transposta.

Onde:

  • i é a posição da linha
  • j é a posição da coluna
  • aij um elemento de uma posição qualquer na matriz
  • m é o número de linhas na matriz
  • n é o número de colunas na matriz
  • At a transposta de A

Exemplo:

Considere a matriz A, abaixo, então At é:

Transposição de uma matriz qualquer
Transposição de uma matriz qualquer

A matriz A é uma matriz de ordem 3×2, ou seja, 3 linhas e duas colunas. Dessa forma, a matriz transposta At terá ordem 2×3, 2 linhas e 3 colunas pois trocamos as linhas pelas colunas.

Propriedades

Seja A e B matrizes e a um número real qualquer, então:

  • (A + B)t = At + Bt: A transposta da soma de duas matrizes A e B é igual a soma da transposta de A com a transposta de B.
  • (a . A)t = a . At: A transposta da multiplicação de um número real a pela matriz A é igual a multiplicação de a pela transposta de A.
  • (At)t = A: A transposta da transposta de A é a própria matriz A
  • (A . B)t = Bt . At: A transposta multiplicação da matriz A pela matriz B é igual ao produto da transposta de B pela transposta de A.
  • det(A) = det(At): O determinante de A é o mesmo determinante da sua transposta At.

Matriz Simétrica

Chamamos de matriz simétrica uma matriz quadrada – em que o número de linhas é igual ao número de colunas -, onde vale a igualdade: aij = aji.

A transposta de uma matriz simétrica A é a própria matriz A, então A = At.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Matriz simétrica

Então a transposta de A é At:

Matriz simétrica e transposta

Veja que independente de trocarmos as linhas pelas colunas de A, a sua transposta At é igual a matriz original A.

Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz -A. Para obter uma matriz oposta a outra basta trocarmos os sinais dos elementos da matriz A, sem trocar os elementos de posição.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Oposta

Então a oposta de A é -A, logo:

Oposta de A

Na matriz oposta apenas trocamos o sinal dos elementos sem trocar a posição dos elementos. Matriz oposta não é a mesma coisa que matriz transposta. Na transposta nós transportamos os elementos de posição, na matriz oposta apenas mudamos o sinal dos elementos.

Matriz Antissimétrica

Chamamos uma matriz quadrada A de antissimétrica, se A for igual a oposta da transposta de A. Então, temos que: A = -At. Então, é equivalente dizer que aij = -aji.

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser obrigatoriamente nulos e os elementos que não pertencem a diagonal principal possui sinais contrários.

Considere a matriz A a seguir:

Antissimétrica

Então a transposta de A é At, temos:

Transposta

Por fim, a oposta da transposta de A é -At:

Oposta

Logo, A = -At

Lembrando que matriz oposta é só trocar os sinais dos elementos da matriz original.

Leia também…

Matrizes

Matriz Identidade

Matrizes e Determinantes

Matriz Inversa


CONTINUA DEPOIS DA PUBLICIDADE

Author by