Matriz Transposta

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Uma matriz transposta é uma matriz gerada através da troca ordenada das linhas pelas colunas. A notação para a transposta de uma matriz A é At.

Definição de matriz transposta

Seja A = [aij]mxn uma matriz qualquer. Chamamos de matriz transposta de A a matriz At = [aij]nxm, ou seja, At é obtida a partir de A trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.

Perceba que na definição trocamos n por m na matriz transposta.

Onde:

  • i é a posição da linha
  • j é a posição da coluna
  • aij um elemento de uma posição qualquer na matriz
  • m é o número de linhas na matriz
  • n é o número de colunas na matriz
  • At a matriz transposta de A

Exemplo:

Considere a matriz A, abaixo, então At é:

Matriz transposta

A matriz A é uma matriz de ordem 3x2, ou seja, 3 linhas e duas colunas. Dessa forma, a matriz transposta At terá ordem 2x3, 2 linhas e 3 colunas pois trocamos as linhas pelas colunas.

Propriedades da matriz transposta

Seja A e B matrizes e a um número real qualquer, então:

  • (A + B)t = At + Bt: A transposta da soma de duas matrizes A e B é igual a soma da transposta de A com a transposta de B.
  • (a . A)t = a . At: A transposta da multiplicação de um número real a pela matriz A é igual a multiplicação de a pela transposta de A.
  • (At)t = A: A transposta da transposta de A é a própria matriz A
  • (A . B)t = Bt . At: A transposta multiplicação da matriz A pela matriz B é igual ao produto da transposta de B pela transposta de A.
  • det(A) = det(At): O determinante de A é o mesmo determinante da sua transposta At.

Matriz Simétrica

Chamamos de matriz simétrica uma matriz quadrada - em que o número de linhas é igual ao número de colunas -, onde vale a igualdade: aij = aji.

A transposta de uma matriz A simétrica é a própria matriz A, então A = At.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

matriz simétrica

Então a transposta de A é At:

matriz simétrica transposta

Veja que independente de trocarmos as linhas pelas colunas de A, a sua transposta At é igual a matriz original A.

Matriz Oposta

Chamamos de matriz oposta de A, a matriz -A. Para obter uma matriz oposta a outra basta trocarmos os sinais dos elementos da matriz A, sem trocar os elementos de posição.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

matriz oposta

Então a oposta de A é -A, logo:

matriz oposta

Na matriz oposta apenas trocamos o sinal dos elementos sem trocar a posição dos elementos. Matriz oposta não é a mesma coisa que matriz transposta. A transposta nós transportamos os elementos de posição, na matriz oposta apenas mudamos o sinal dos elementos.

Matriz Antissimétrica

Chamamos uma matriz quadrada A de antissimétrica, se A for igual a oposta da transposta de A. Então, temos que: A = -At. Então, é equivalente dizer que aij = -aji.

Os elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser obrigatoriamente nulos e os elementos que não pertencem a diagonal principal possui sinais contrários.

Considere a matriz A a seguir:

matriz antissimétrica

Então a transposta de A é At, temos:

matriz antissimétrica transposta

Por fim, a oposta da transposta de A é -At:

matriz antissimétrica transposta oposta

Logo, A = -At

Lembrando que matriz oposta é só trocar os sinais dos elementos da matriz original.

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Bons estudos! 😄

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Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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