Determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que podem ser utilizados na resolução de sistemas lineares.
Notação para determinantes de matrizes
Seja a matriz M a seguir:
Definimos determinantes de M como det (M) ou
Determinante de matriz de ordem 1
O determinate de uma matriz de ordem 1x1 é o próprio elemento da matriz.
Exemplo: A = [1] ⇒ det A = 1
Determinante de matriz de ordem 2
O determinante das matrizes quadradas - aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas - de ordem 2x2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim:
Exemplo:
Seja a matriz M:
Então:
Determinantes de matriz de ordem 3
Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3x3 temos que utilizar a regra de Sarrus. Veja como:
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3x3:
A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira:
Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja:
Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para o lado direito, seguindo as setas abaixo: para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos (-). Veja:Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21. a33
Vamos ver um exemplo prático.
Exemplo:
Considere a matriz A abaixo:
Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito:
Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que:
Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4x4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes.
É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2x2 e 3x3 as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular.
Antes de mostrar o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema.
Menor complementar (Dij)
O menor complementar de um elemento aij em uma matriz A é obtido eliminando a linha i e coluna j de aij, dessa forma teremos uma matriz de ordem n - 1, o determinante Dij dessa matriz é o menor complementar do elemento aij.
Exemplo:
Seja A a matriz abaixo:
Calcule os menores complementares D11 e D21.
Resolução:
Para D11, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a11:
Temos a matriz:
Então D11 é: det(A) = 5 . 3 - 1 . 1 = 15 - 1 = 14
Para encontrarmos D21, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a21:
Assim, temos a matriz:
Então D21 é: det(A) = 3 . 3 - 0 . 1 = 9 - 0 = 9
Cofator ou complemento algébrico (Aij)
Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número Aij, de forma que:
O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta: det (A) = det (At);
Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante é zero;
Caso exista duas filas paralelas, iguais ou proporcional, o determinante é zero;
O determinante do produto de um número real k por uma matriz A é igual ao produto de k elevado a n, onde n é o número de linhas de A, pelo determinante de A: det (k . A) = kn . det (A);
Caso os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal;
Teorema de Binet: Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B.
Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país. LinkedIn
= 1 . (2 . 1 - 5 . 2) = 1 . (2 - 10) = 1 . (-8) = -8
= 1 . (1 . 3 - 0 . 2) = 1 . (3 - 0) = 1 . 3 = 3
by Jean Carlos Novaes