Matrizes e Determinantes: Regra de Sarrus e Laplace

Matrizes e Determinantes são conceitos fundamentais na resolução de problemas envolvendo equações matriciais.

O determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que pode ser utilizado na resolução de sistemas lineares.

Notação para determinantes de matrizes

Seja a matriz M a seguir:

Definimos determinantes de M como det (M) ou

Determinante de matriz de ordem 1

O determinate de uma matriz de ordem 1×1 é o próprio elemento da matriz.

Exemplo:

A = [1] ⇒ det A = 1

Determinante de matriz de ordem 2

O determinante das matrizes quadradas – aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas – de ordem 2×2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim:

Exemplo:

Seja a matriz M:

Então:

Determinantes de matriz de ordem 3

Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3×3 temos que utilizar a regra de Sarrus. Veja como:

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3×3:

A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira:

Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja:

Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para o lado direito, seguindo as setas abaixo: para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos (-). Veja:

Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33

Vamos ver um exemplo prático.

Exemplo:

Considere a matriz A abaixo:

Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito:

Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que:

det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2

Portanto, det(A) = 2

Determinante para matrizes de ordem 4 ou superior

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4×4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes.

É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2×2 e 3×3, as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular.

Antes de mostrarmos o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema.

Menor complementar (D_ij)

O menor complementar de um elemento a_ij, em uma matriz A, é obtido eliminando a linha i e coluna j de a_ij. Dessa forma, teremos uma matriz de ordem n – 1, e o determinante D_ij dessa matriz é o menor complementar do elemento a_ij.

Exemplo:

Seja A a matriz abaixo:

Calcule os menores complementares D₁₁ e D₂₁.

Resolução:

Para D₁₁, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a₁₁:

Temos a matriz:

Então D₁₁ é: det(A) = 5 . 3 – 1 . 1 = 15 – 1 = 14

Para encontrarmos D₂₁, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a₂₁:

Assim, temos a matriz:

Então D₂₁ é: det(A) = 3 . 3 – 0 . 1 = 9 – 0 = 9

Cofator ou complemento algébrico (A_ij)

Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento a_ij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número A_ij, de forma que:

A_ij = (-1)^{i + j} . D_ij

Exemplo:

Seja a matriz A a seguir, calcule A₂₂ e A₁₃:

Resolução:

Cofator para A₁₃:

Vamos aplicar a fórmula: A_ij = (-1)^{i + j} . D_ij

Cofator para A₂₂:

Aplicando a fórmula: A_ij = (-1)^{i + j} . D_ij

Bom, agora que já sabemos calcular o menor complementar e o cofator, podemos estudar o teorema de Laplace.

Teorema de Laplace

Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:

Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;
Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelos seus cofatores;
O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.

Exemplo:

Seja matriz quadrada A a seguir:

Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos.

Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:

Assim:

det (A) = a₁₁ . A₁₁ + a₁₂ . A₁₂ + a₁₃ . A₁₃ + a₁₄ . A₁₄ = 1 . (–1)^{1 + 1} . D₁₁ + 0 . (–1)^{1 + 2} . D₁₂ + 2 . (–1)^{1 + 3} . D₁₃ + 0 . (–1)^{1 + 4} . D₁₄ = D₁₁ + 2D₁₃

Como escolhemos uma linha com maior quantidade de zeros, isso anulou, durante a multiplicação, alguns cálculos.

Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D₁₁ e D₁₃:

Para D₁₁, removendo a linha e coluna do elemento:

Temos a seguinte matriz:

Para D₁₃, removendo a linha e coluna do elemento:

Temos a seguinte matriz:

O determinante para as matrizes D₁₁ e D₁₃ foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

det(D₁₁) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) – (1 . 0 . 1) – (1 . 1 . 2) – (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 – 0 – 2 – 6 = 7 – 8 = -1

det(D₁₃) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) – (1 . 3 . (-1)) – (2 . 1 . 1) – (1 . 2 . 2) = 12 – 1 + 2 – (-3) – 2 – 4 = 17 – 7 = 10

Por fim, D₁₁ + 2 . D₁₃ = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19

Portanto, det(A) = 19

Propriedades das matrizes e dos determinantes

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta: det (A) = det (A^t);
Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante é zero;
Caso exista duas filas paralelas, iguais ou proporcional, o determinante é zero;
O determinante do produto de um número real k por uma matriz A é igual ao produto de k elevado a n, onde n é o número de linhas de A, pelo determinante de A: det (k . A) = kⁿ . det (A);
Caso os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal;
Teorema de Binet: Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B.