Matrizes e Determinantes

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Determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que podem ser utilizados na resolução de sistemas lineares.

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Índice do Artigo

Notação para determinantes de matrizes

Seja a matriz M a seguir:

Matrizes e Determinantes

Definimos determinantes de M como det (M) ou

Notação para determinantes de matrizes
Notação para determinantes de matrizes

Determinante de matriz de ordem 1

O determinate de uma matriz de ordem 1×1 é o próprio elemento da matriz.

Exemplo: A = [1] ⇒ det A = 1

Determinante de matriz de ordem 2

O determinante das matrizes quadradas – aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas – de ordem 2×2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim:

Determinante de matriz de ordem 2
Determinante de matriz de ordem 2

Exemplo:

Seja a matriz M:

Matrizes e Determinantes

Então:

Determinante de matriz de ordem 2
Determinante de matriz de ordem 2

Determinantes de matriz de ordem 3

Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3×3 temos que utilizar a regra de Sarrus. Veja como:

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3×3:

Determinantes de matriz de ordem 3
Determinantes de matriz de ordem 3

A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira:

Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja:

Determinantes de matriz de ordem 3
Determinantes de matriz de ordem 3

Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para o lado direito, seguindo as setas abaixo: para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos (-). Veja:

Determinantes de matriz de ordem 3
Determinantes de matriz de ordem 3

Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33

Vamos ver um exemplo prático.

Exemplo:

Considere a matriz A abaixo:

Determinantes de matriz de ordem 3
Determinantes de matriz de ordem 3

Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito:

Determinantes de matriz de ordem 3
Determinantes de matriz de ordem 3

Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que:

det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2

Portanto, det(A) = 2

Determinante para matrizes de ordem 4 ou superior

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4×4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes.

É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2×2 e 3×3 as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular.

Antes de mostrar o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema.

Menor complementar (Dij)

O menor complementar de um elemento aij em uma matriz A é obtido eliminando a linha i e coluna j de aij, dessa forma teremos uma matriz de ordem n – 1, o determinante Dij dessa matriz é o menor complementar do elemento aij.

Exemplo:

Seja A a matriz abaixo:

Determinantes de matriz de ordem 3
Teorema de Laplace

Calcule os menores complementares D11 e D21.

Resolução:

Para D11, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a11:

Teorema de Laplace
Teorema de Laplace

Temos a matriz:

Teorema de Laplace

Então D11 é: det(A) = 5 . 3 – 1 . 1 = 15 – 1 = 14

Para encontrarmos D21, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a21:

Teorema de Laplace

Assim, temos a matriz:

Teorema de Laplace

Então D21 é: det(A) = 3 . 3 – 0 . 1 = 9 – 0 = 9

Cofator ou complemento algébrico (Aij)

Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número Aij, de forma que:

Aij = (-1)i + j . Dij

Exemplo:

Seja a matriz A a seguir, calcule A22 e A13:

Cofator ou complemento algébrico (Aij)
Cofator ou complemento algébrico (Aij)

Resolução:

Cofator para A13:

Vamos aplicar a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

Matriz e determinante

Cofator para A22:

Aplicando a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

matriz

Bom, agora que já sabemos calcular o menor complementar e o cofator, podemos estudar o teorema de Laplace.

Teorema de Laplace

Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:

  1. Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;
  2. Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelo seus cofatores;
  3. O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.

Exemplo:

Seja matriz quadrada A a seguir:

Teorema de Laplace

Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos.

Teorema de Laplace

Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:

Assim:

det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13

Como escolhemos uma linha com maior quantidade de zeros, isso anulou, durante a multiplicação, alguns cálculos.

Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D11 e D13:

Para D11, removendo a linha e coluna do elemento:

Teorema de Laplace

Temos a seguinte matriz:

Teorema de Laplace

Para D13, removendo a linha e coluna do elemento:

Temos a seguinte matriz:

Teorema de Laplace

O determinante para as matrizes D11 e D13 foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

Teorema de Laplace

det(D11) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) – (1 . 0 . 1) – (1 . 1 . 2) – (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 – 0 – 2 – 6 = 7 – 8 = -1

det(D13) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) – (1 . 3 . (-1)) – (2 . 1 . 1) – (1 . 2 . 2) = 12 – 1 + 2 – (-3) – 2 – 4 = 17 – 7 = 10

Por fim, D11 + 2 . D13 = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19

Portanto, det(A) = 19

Propriedades dos determinantes

  1. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta: det (A) = det (At);
  2. Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante é zero;
  3. Caso exista duas filas paralelas, iguais ou proporcional, o determinante é zero;
  4. O determinante do produto de um número real k por uma matriz A é igual ao produto de k elevado a n, onde n é o número de linhas de A, pelo determinante de A: det (k . A) = kn . det (A);
  5. Caso os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal;
  6. Teorema de Binet: Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B.

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