Matrizes e Determinantes

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Determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que podem ser utilizados na resolução de sistemas lineares.

Notação para determinantes de matrizes

Seja a matriz M a seguir:

Notação para determinantes de matrizes

Definimos determinantes de M como det (M) ou

Notação para determinantes de matrizes

Determinante de matriz de ordem 1

O determinate de uma matriz de ordem 1x1 é o próprio elemento da matriz.

Exemplo: A = [1] ⇒ det A = 1

Determinante de matriz de ordem 2

O determinante das matrizes quadradas - aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas - de ordem 2x2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim:

Determinante de matriz de ordem 2

Exemplo:

Seja a matriz M:

Determinante de matriz de ordem 2

Então:

Determinante de matriz de ordem 2

Determinantes de matriz de ordem 3

Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3x3 temos que utilizar a regra de Sarrus. Veja como:

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3x3:

Determinantes de matriz de ordem 3

A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira:

  • Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja:
    Determinantes de matriz de ordem 3, regra de sarrus
  • Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para o lado direito, seguindo as setas abaixo: para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos (-). Veja:
    Determinantes de matriz de ordem 3, regra de sarrus
    Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21. a33

Vamos ver um exemplo prático.

Exemplo:

Considere a matriz A abaixo:

Determinantes de matriz de ordem 3, regra de sarrus

Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito:

Determinantes de matriz de ordem 3, regra de sarrus

Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que:

det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 - 0 . 5 . 2 - 1 . 1 . 1 - 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 - 0 - 1 - 18 = 21 - 19 = 2

Portanto, det(A) = 2

Determinante para matrizes de ordem 4 ou superior

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4x4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes.

É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2x2 e 3x3 as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular.

Antes de mostrar o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema.

Menor complementar (Dij)

O menor complementar de um elemento aij em uma matriz A é obtido eliminando a linha i e coluna j de aij, dessa forma teremos uma matriz de ordem n - 1, o determinante Dij dessa matriz é o menor complementar do elemento aij.

Exemplo:

Seja A a matriz abaixo:

Determinantes de menor complementar, Teorema de Laplace

Calcule os menores complementares D11 e D21.

Resolução:

Para D11, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a11:

Determinantes de matriz de ordem superior a 3, Teorema de Laplace

Temos a matriz:

Determinantes de menor complementar, Teorema de Laplace

Então D11 é: det(A) = 5 . 3 - 1 . 1 = 15 - 1 = 14

Para encontrarmos D21, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a21:

Determinantes de menor complementar, Teorema de Laplace

Assim, temos a matriz:

Determinantes de menor complementar, Teorema de Laplace

Então D21 é: det(A) = 3 . 3 - 0 . 1 = 9 - 0 = 9

Cofator ou complemento algébrico (Aij)

Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número Aij, de forma que:

Aij = (-1)i + j . Dij

Exemplo:

Seja a matriz A a seguir, calcule A22 e A13:

Cofator ou menor complementar, Teorema de Laplace

Resolução:

  • Cofator para A13:

    Cofator ou menor complementar, Teorema de Laplace

    Vamos aplicar a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

    A13 = (-1)1 + 3 . D13 = (-1)4 . cofator = 1 . (2 . 1 - 5 . 2) = 1 . (2 - 10) = 1 . (-8) = -8

  • Cofator para A22:

    Cofator ou menor complementar, Teorema de Laplace

    Aplicando a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

    A22 = (-1)2 + 2 . D22 =(-1)4 . cofator = 1 . (1 . 3 - 0 . 2) = 1 . (3 - 0) = 1 . 3 = 3

Bom, agora que já sabemos calcular o menor complementar e o cofator, podemos estudar o teorema de Laplace.

Teorema de Laplace

Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:

  1. Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;
  2. Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelo seus cofatores;
  3. O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.

Exemplo:

Seja matriz quadrada A a seguir:

Teorema de Laplace

Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos.

Teorema de Laplace

Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:

Assim:

det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13

Como escolhemos uma linha com maior quantidade de zeros, isso anulou, durante a multiplicação, alguns cálculos.

Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D11 e D13:

  • Para D11, removendo a linha e coluna do elemento:

    Teorema de Laplace

    Temos a seguinte matriz:

    Teorema de Laplace
  • Para D13, removendo a linha e coluna do elemento:

    Teorema de Laplace

    Temos a seguinte matriz:

    Teorema de Laplace

    O determinante para as matrizes D11 e D13 foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

    Teorema de Laplace

    det(D11) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) - (1 . 0 . 1) - (1 . 1 . 2) - (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 - 0 - 2 - 6 = 7 - 8 = -1

    Teorema de Laplace

    det(D13) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) - (1 . 3 . (-1)) - (2 . 1 . 1) - (1 . 2 . 2) = 12 - 1 + 2 - (-3) - 2 - 4 = 17 - 7 = 10

Por fim, D11 + 2 . D13 = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19

Portanto, det(A) = 19

Propriedades dos determinantes

  1. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta: det (A) = det (At);
  2. Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante é zero;
  3. Caso exista duas filas paralelas, iguais ou proporcional, o determinante é zero;
  4. O determinante do produto de um número real k por uma matriz A é igual ao produto de k elevado a n, onde n é o número de linhas de A, pelo determinante de A: det (k . A) = kn . det (A);
  5. Caso os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal;
  6. Teorema de Binet: Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B.

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Bons estudos! 😄

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Matriz Inversa






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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