Sistemas Lineares

Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama-los. Aqui, vamos nos aprender a regra mais fácil pois o intuito do site é facilitar a vida do estudante e não complicar.

 

Equação linear

Antes disso, porém, vamos entender o que é uma equação linear para depois estudarmos e entendermos sistemas lineares.

 

Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x+ a3x3 + … + anxn = b

onde a1, a2,  a3, …, an são números reais e b é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea.

Sistema linear

Um sistema linear tem a seguinte forma:
$$\left\{ \begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n=b_2\\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n=b_n\\
\end{array}
\right.$$

Cuja solução pertence aos números reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema.

Classificação de sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções apresentados pelos mesmo. Assim, os sistemas lineares podem ser classificados como:

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Matriz associada a um sistema linear

Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz.

Seja o sistema:

$$\left \{\begin{array}{c}2x + y = 5\\ 5x + 2y = 3\\x + 2y = 1\end{array}\right. $$

Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema.

$$ \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 5 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix} $$

Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema mais os temos independentes.

$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 1\end{bmatrix} $$

Equação matricial dos sistemas lineares

$$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 5 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix}$$

A partir dessa equação matricial pode se resolver o sistema.

 

  • Diogo Motta

    Os exemplos da matriz completa e incompleta estão trocados.

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado por avisar…

      • Bruno Cassiano

        ainda estão

  • Rayssa Cajaiba

    Obrigadaaaaaaaa

  • Leonardo

    Acho que o último exemplo está errado… Não é possível multiplicar uma matriz 3×2 por uma 3×1

  • Darlan Motta Di Pietro Souza

    Último exemplo está errado, aquele “z” não deve estar ali, a matriz deve ser apenas [x,y] assim efetuamos a multiplicação de matrizes uma 3×2 x 2×1 = 3×1 😉 ! Percebe-se pois o sistema por essa matriz representado possui apenas 2 variáveis.