Sistemas Lineares

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Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolvermos um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama-los. Aqui, vamos aprender a regra mais fácil pois o intuito do site é facilitar a vida do estudante e não complicar.

Equação linear

Antes disso, porém, vamos entender o que é uma equação linear para depois estudarmos e entendermos sistemas lineares.

Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x+ a3x3 + … + anxn = b onde a1, a2,  a3, …, an são números reais e b é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea.

Exemplo: 2x1 + 5x2 - x3 + 3x4 = -2

Sistema linear

Um sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares e tem a seguinte forma:

Sistema linear

Cuja solução pertence aos números reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema.

Exemplo:

Sistema linear

Solução de um sistema linear

O conjunto ordenado dos números (a1, a2, a3, …, an) é solução do sistema linear nas incógnitas x1, x2, x3, …, xn, para x1 = a1, x2 = a2, …, xn = an, então as equações do sistema são verdadeiras.

Matriz associada a um sistema linear

Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz.

Seja o sistema:

Sistema lineares

Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema.

Exemplo:

Matriz incompleta dos sistema lineares

Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema mais os temos independentes.

Exemplo:

Matriz completa dos sistema lineares

Equação matricial dos sistemas lineares

A equação matricial de um sistema linear é formada pelos coeficientes das equações, pelas variáveis e pelos termos independentes após a igualdade.

Equação matricial dos sistema lineares

A solução para o sistema que forma essa equação linear é encontrar valores para as variáveis x e y.

Classificação de sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções apresentados por ele. Assim, os sistemas lineares podem ser classificados como:

  • SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única solução.
  • SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
  • SI – Sistema Impossível – não possui solução.

O fluxograma a seguir mostra como as soluções dos sistemas são divididas:

Sistema lineares: fluxograma

Como saber se um sistema linear tem solução?

Para sabermos se um sistema possui solução, basta calcularmos o determinante da matriz associada ao sistema, assim:

  • SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinate for diferente de zero;
  • SPI (Sistema Possível e Indeterminado) se o determinante for igual a zero;
  • SI (Sistema Impossível) se o determinante principal for igual a zero e o determinante secundário for diferente de zero.

Como resolver sistemas lineares?

Existem diferentes formas para a resolução de sistemas, no entanto vamos mostrar apenas duas: Regra de Cramer e Escalonamento.

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e determinados). Tem os seguintes passos:

  1. Para calcular o determinante principal, formamos uma matriz com os coeficientes das variáveis;

    Determinante principal dos sistema lineares
  2. Para calcular os determinantes secundários, substituímos as colunas das variáveis pela coluna do termo independente;

    Determinantes secundários dos sistema lineares
  3. Obtemos as soluções para o sistema pela fórmula:

    Fórmula Regra de Cramer

Exemplo:

Considere o sistema:

Regra de Cramer, sistema

Então, o determinante principal é:

Regra de Cramer, determinante principal

[3 . 3 . (-2)] + [2 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] - [2 . 1 . (-2)] - [3 . 1 . 2] - [(-1) . 3 . 2] = -18 + 4 - 2 + 4 - 6 + 6 = -12

Os determinantes secundários são:

Regra de Cramer, determinante secundários

[0 . 3 . (-2)] + [2 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] - [2 . 1 . (-2)] - [0 . 1 . 2] - [(-1) . 3 . 2] = 0 + 4 - 2 + 4 - 0 + 6 = 12

Regra de Cramer, determinante secundários

[3 . 1 . (-2)] + [0 . 1 . 2] + [(-1) . 1 . 2] - [0 . 1 . (-2)] - [3 . 1 . 2] - [(-1) . 1 . 2] = - 6 + 0 - 2 - 0 - 6 + 2 = -12

Regra de Cramer, determinante secundários

[3 . 3 . 2] + [2 . 1 . 2] + [0 . 1 . 2] - [2 . 1 . 2] - [3 . 1 . 2] - [0 . 3 . 2] = 18 + 4 + 0 - 4 - 6 - 0 = 12

Para calcular o determinante utilizamos a Regra de Sarrus para matrizes quadradas de ordem 3.

Logo,

Regra de Cramer, determinante secundários

A solução do sistema é (-1, 1, -1).

Escalonamento de sistemas lineares

Escalonar um sistema é uma forma de resolvê-lo transformando o sistema em outro equivalente que possua uma resolução mais fácil. Os passos para escalonar um sistema são:

  1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
  2. Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
  3. Trocar duas equações de posições entre si;
  4. Multiplicar um das equações por um número real e somá-la ou subtraí-la a outra;
  5. Dividir uma equação inteira por um número real diferente de zero.

Seguindo esses passos podemos escalonar um sistema e encontrar os valores para as variáveis que resolvem o sistema. Este tipo de escalonamento é chamado de forma escalonada ou de redução à forma escada, pois quando vamos escalonando um sistema, uma “escada” vai se formando.

Observação: os passos indicados acima não precisam ser executados necessariamente nessa ordem, nem executar todos os passos. É apenas um norte a ser seguido.

Exemplo:

Considere o sistema abaixo:

Escalonamento de sistemas lineares

Para fazermos o escalonamento devemos transformar o sistema acima em uma matriz. Assim, pegamos os valores dos coeficientes e do termo independente após a igualdade.

Escalonamento de sistemas lineares

Com a matriz montada, o primeiro passo é fazer uma operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) que anula pelo menos um elemento da matriz. Ao analisar a matriz, percebe-se que se subtrairmos a linha 2 com a linha 1, anulamos um elemento. O resultado dessa subtração é colocado na linha 2, como mostra L’2 do lado direito da matriz abaixo.

Escalonamento de sistemas lineares

Nesse passo, anulamos mais um elemento subtraindo a linha 3 pelo dobro da linha 1, colocando o resultado na linha 3. Veja:

Escalonamento de sistemas lineares

Agora se somarmos a linha 2 com a linha 3 anulamos mais um elemento.

Escalonamento de sistemas lineares

A diagonal principal não pode ser nula, então temos que transformar o número 2 em 1, para isso basta dividirmos a linha 3 por 2. Veja:

Escalonamento de sistemas lineares

Neste passo já temos a forma escalonada, aqui já é possível encontrar os valores das variáveis x, y e z.

Escalonamento de sistemas lineares

Vamos prosseguir para ver o processo até o final. O intuito agora é anularmos os elementos acima da diagonal principal.

Escalonamento de sistemas lineares

Perceba que se subtrairmos a linha 2 com a linha 3, anulamos um elemento. Veja:

Escalonamento de sistemas lineares

Continuando, vamos anular mais um elemento que não está na diagonal principal, para isso devemos subtrair a linha 1 com a linha 3.

Escalonamento de sistemas lineares

Por fim, vamos anular o último elemento que não está na diagonal principal.

Escalonamento de sistemas lineares

Portanto, essa é a matriz escalonada. Os valores encontrados no termo independente são os valores que atribuídos as variáveis x, y e z formam o conjunto solução do sistema. A matriz abaixo é a escalonação reduzida à forma escada.

Escalonamento de sistemas lineares

Montando o sistema novamente, temos um sistema equivalente fácil de resolver:

Escalonamento de sistemas lineares

Assim, x = 3, y = 2 e z = 1.

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Bons estudos! 😄

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Matriz Identidade

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Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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