Sistema de Equações

Chamamos de sistema de equações duas ou mais equações que formam um conjunto onde as equações se relacionam com as mesmas incógnitas.

Além disso, um sistema é formado por equações do primeiro grau quando todas as equações possuem grau 1 e as equações tenham duas incógnitas diferentes em cada uma delas.

Exemplo:

Sistema de equações
Sistema de equações

Índice do Artigo

esconder

Como resolver um sistema de equações do 1º grau?

Para resolver um sistema de equações do 1º grau existem dois métodos: método da substituição e o método da adição.

Método da substituição

Nessa método, escolhemos uma das equações do sistema, isolamos uma das variáveis da equação escolhida e substituímos na outra equação.

Exemplo:

Considere o sistema:

Sistema de equações

Enumeremos as equações:

Sistema de equações

Escolhemos a equação 1 e isolamos uma das variáveis:

Sistema de equações

Isolamos o x da equação 1, agora vamos substituir na equação 2:

Sistema de equações

Nesse passo, já descobrimos o valor de y, agora vamos encontrar o valor de x, então devemos substituir o valor de y na equação x = -y.

x = -y ⇒ x = 0

Portanto, a solução do sistema é S = {0, 0}.

Vamos ver outro exemplo:

Considere o sistema abaixo:

Enumeramos as equações:

Sistema de equações

Vamos isolar o x na equação 2:

Sistema de equações

Agora vamos substituir x na equação 1: 4x – 2y = 2:

método da substituição

já encontramos o valor de y, agora vamos voltar e substituir em x = 2 + y:

x = 2 – 3 ⇒ x = -1

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {-1, -3}

Método da adição

O método da adição consiste em somar uma equação com a outra, para isso é preciso que as incógnitas somadas tenham o mesmo valor e sinal contrário.

Exemplo:

Considere o sistema:

Método da adição de sistemas

O sistema já possui duas incógnitas com sinais trocados, então basta somá-las.

Método da adição de sistemas

Como agora a equação só tem uma incógnita, podemos encontrar o valor dela:

Método da adição de sistemas

Por fim, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x.

Método da adição de sistemas
Método da adição de sistemas

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {34; –78}

Dúvidas com frações? Estude o MMC e divisão de frações.

Vamos ver mais um exemplo:

Considere o sistema:

Método da adição de sistemas

Não podemos somar o sistema como está, pois não eliminaremos nenhuma incógnita. Para isso, devemos multiplicar a primeira equação por -2, toda ela.

Método da adição de sistemas

Fazendo isso, temos o seguinte sistema:

Método da adição de sistemas

Agora podemos somar as duas equações:

Método da adição de sistemas

Com o valor de y, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir para encontrar o valor de x.

Substituindo y = 8 em x + y = 5, temos:

x + 8 = 5 ⇒ x = 5 – 8 ⇒ x = -3

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {-3; 8}

Classificação dos Sistemas de Equações

Os sistemas de equações do primeiro grau têm a seguinte forma: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 e podem ser classificados como:

  1. Possível e determinando;
  2. Possível e indeterminando;
  3. Impossível.

Possível e determinando: um sistema é possível e determinando quando possui somente uma solução, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Possível e indeterminando: um sistema é possível e indeterminando quando possui infinitas soluções, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Impossível: um sistema é impossível quando não possui nenhuma solução, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Exemplo:

Considere o sistema abaixo e classifique-o em possível e determinado, possível e indeterminando ou impossível:

Classificação dos Sistemas de Equações

Vamos calcular as razões para poder classificar o sistema:

Classificação dos Sistemas de Equações
Classificação dos Sistemas de Equações
Classificação dos Sistemas de Equações

Como

Classificação dos Sistemas de Equações

o sistema é possível e determinado.

Encontrou algum erro? Nos avise clicando aqui

Authorby Jean Carlos Novaes