Sistema de Equações

Chamamos de sistema de equações duas ou mais equações que formam um conjunto onde as equações se relacionam com as mesmas incógnitas.

Além disso, um sistema é formado por equações do primeiro grau quando todas as equações possuem grau 1 e as equações tenham duas incógnitas diferentes em cada uma delas.

Exemplo:

Sistema de equações
Sistema de equações

Índice do Artigo

Como resolver um sistema de equações do 1º grau?

Para resolver um sistema de equações do 1º grau existem dois métodos: método da substituição e o método da adição.

Método da substituição

Nessa método, escolhemos uma das equações do sistema, isolamos uma das variáveis da equação escolhida e substituímos na outra equação.

Exemplo:

Considere o sistema:

Sistema de equações

Enumeremos as equações:

Sistema de equações

Escolhemos a equação 1 e isolamos uma das variáveis:

Sistema de equações

Isolamos o x da equação 1, agora vamos substituir na equação 2:

Sistema de equações

Nesse passo, já descobrimos o valor de y, agora vamos encontrar o valor de x, então devemos substituir o valor de y na equação x = -y.

x = -y ⇒ x = 0

Portanto, a solução do sistema é S = {0, 0}.

Vamos ver outro exemplo:

Considere o sistema abaixo:

Enumeramos as equações:

Sistema de equações

Vamos isolar o x na equação 2:

Sistema de equações

Agora vamos substituir x na equação 1: 4x – 2y = 2:

método da substituição

já encontramos o valor de y, agora vamos voltar e substituir em x = 2 + y:

x = 2 – 3 ⇒ x = -1

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {-1, -3}

Método da adição

O método da adição consiste em somar uma equação com a outra, para isso é preciso que as incógnitas somadas tenham o mesmo valor e sinal contrário.

Exemplo:

Considere o sistema:

Método da adição de sistemas

O sistema já possui duas incógnitas com sinais trocados, então basta somá-las.

Método da adição de sistemas

Como agora a equação só tem uma incógnita, podemos encontrar o valor dela:

Método da adição de sistemas

Por fim, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x.

Método da adição de sistemas
Método da adição de sistemas

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {34; –78}

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Vamos ver mais um exemplo:

Considere o sistema:

Método da adição de sistemas

Não podemos somar o sistema como está, pois não eliminaremos nenhuma incógnita. Para isso, devemos multiplicar a primeira equação por -2, toda ela.

Método da adição de sistemas

Fazendo isso, temos o seguinte sistema:

Método da adição de sistemas

Agora podemos somar as duas equações:

Método da adição de sistemas

Com o valor de y, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir para encontrar o valor de x.

Substituindo y = 8 em x + y = 5, temos:

x + 8 = 5 ⇒ x = 5 – 8 ⇒ x = -3

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {-3; 8}

Classificação dos Sistemas de Equações

Os sistemas de equações do primeiro grau têm a seguinte forma: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2 e podem ser classificados como:

  1. Possível e determinando;
  2. Possível e indeterminando;
  3. Impossível.

Possível e determinando: um sistema é possível e determinando quando possui somente uma solução, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Possível e indeterminando: um sistema é possível e indeterminando quando possui infinitas soluções, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Impossível: um sistema é impossível quando não possui nenhuma solução, então:

Classificação dos Sistemas de Equações

Exemplo:

Considere o sistema abaixo e classifique-o em possível e determinado, possível e indeterminando ou impossível:

Classificação dos Sistemas de Equações

Vamos calcular as razões para poder classificar o sistema:

Classificação dos Sistemas de Equações
Classificação dos Sistemas de Equações
Classificação dos Sistemas de Equações

Como

Classificação dos Sistemas de Equações

o sistema é possível e determinado.

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Authorby Jean Carlos Novaes