MMC: Mínimo Múltiplo Comum

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MMC significa mínimo múltiplo comum. O MMC é uma operação para encontrar o menor número positivo, excluindo o zero, que é múltiplo comum entre todos os números dados.

O MMC pode ser usado, por exemplo, para encontrar um denominador comum quando fazemos operações com frações para que o denominador seja comum durante todo o processo.

Os múltiplos de um número podem ser encontrados multiplicando este número pelos números naturais.

Exemplo: 0, 8, 16, 24,32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … são múltiplos de 8, 8 foi multiplicado pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

O conjuntos dos múltiplos de um número é infinito. Perceba que os múltiplos do número 8 foi somando de 8 em 8.

Se quisermos saber se um número qualquer é múltiplo de outro temos que fazer a divisão entre eles, se obtivermos uma divisão exata, isto é, com resto zero, assim podemos dizer que tal número é múltiplo do outro.

Exemplo: No exemplo anterior mostramos os múltiplos de 8, então se quisermos saber se 48 é múltiplo de 8 basta dividir 48 por 8: 48 / 8 = 6. Então 48 é múltiplo de 8 pois ele é divisível por 8 com resto zero.

Como calcular o MMC de dois ou mais números?

Para calcular o MMC entre os números dados devemos fazer o seguinte: decompor em fatores primos ou fazer a decomposição simultânea.

Decomposição em fatores primos

Encontrar o MMC pela decomposição em fatores primos deve obedecer as seguintes regras:

  • Decompor os números dados em fatores primos.
  • Colocar os fatores primos comuns ou não comuns com seus expoentes maiores.
  • Fazer o produto desses fatores primos.

Observação: os números primos são números que são divisíveis somente por ele e por 1 (um).

Exemplo: Calcular o mínimo múltiplo comum para os números 4, 6 e 12.

4 = 2², 2 é um número primo.

6 = 2 x 3, três também é primo.

12 = 2² x 3.

Agora pegamos os fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesse exemplo temos 2 e 3 apenas. Pegamos o 2² e 3, aqui 3 está elevado ao expoente 1.

Assim, o MMC de 4, 6 e 12 é o produto entre 2² x 3 = 4 x 3.

Logo: MMC(4; 6; 12) = 12.

Veja outro exemplo para clarear.

Calcular o MMC de 80, 20, 25:

80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5.

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5.

25 = 5 x 5 = 5².

Dividimos 80 pelos menor número primo que neste caso foi o 2, continuamos dividindo o resultado da divisão por 2, e por último por 5 que era o menor número primos que poderia continuar dividindo.

Agora peguemos os fatores primos com os maiores expoentes: 24 e 5². Fazemos o produtos entre eles: 24 x 5² = 16 x 25 = 400.

Daí, o MMC(80; 20; 25) = 400

Decomposição simultânea

A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir sucessivamente os números dados pelo menor fator primo, caso o número não seja divisível por aquele fator primo ele deve ser repetido.

O MMC é obtido pela multiplicação dos fatores primos usados durante a decomposição. Veja um exemplo para você entender melhor.

Veja como encontrar o menor múltiplo comum entre três números. Se tivermos três números 4, 6 e 8. Qual o mmc desses números através da decomposição simultânea?

mmc, decomposição simultânea

Dividimos 4, 6 e 8 pelo menor número primo que fosse divisível por pelo menor um deles, que foi o número 2. Depois verificamos se ainda tem números que podem ser dividido por 2, 2 e 4 são divisíveis por 2 e conservamos o 3.

No terceiro passo, ainda é possível dividir por 2, mantemos 1 e 3. No quarto passo, só é possível dividir por 3, conservando o resto dos outros números. Quando todos os restos forem 1, acaba o processo.

O mmc é a multiplicação dos números que dividimos. Utilizamos o 2 três vezes e o 3 uma vez no processo, assim temos: 2 x 2 x 2 ou 2³ e 3¹, logo, 2³ x 3¹ = 24.

Portanto, MMC(4; 6; 8) = 24

Vamos calcular o MMC para o exemplo anterior agora usando a decomposição simultânea.

Exemplo: Calcular o MMC para 80, 20 e 25.

decomposição simultânea

O MMC é usado para somar e subtrair frações, veja nossos artigos sobre soma e subtração de frações para melhor entender.

Propriedades do MMC

  1. O mmc de dois números primos entre si é o produto deles.

  2. O mmc de dois números em que o maior é divisível pelo menor é o maior deles.

  3. Multiplicando ou dividindo dois números por um outro número diferente de zero, o mmc aparece multiplicado ou dividido por esse outro.

  4. Dividindo-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.

  5. Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.

A decomposição simultânea tende a ser mais fácil, o aluno pode praticar encontrando o MMC para ouros números para fixar o aprendizado. Responda os execícios abaixo para fixar o que aprendemos.

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Encontre o MMC para os números abaixo

a) O MMC de (3, 21, 2)

R: 42

b) O MMC de (39, 9, 7)

R: 819

c) O MMC de (100, 22, 10)

R: 1100

d) O MMC de (10, 20, 2)

R: 20

e) O MMC de (4, 8, 14)

R: 56

f) O MMC de (2, 4, 5, 21)

R: 420

g) O MMC de (3, 6, 5, 12)

R: 60

h) O MMC de (3, 7, 2)

R: 42

i) O MMC de (9, 3, 2)

R: 18

j) O MMC de (50, 25, 10, 5)

R: 50

Dúvidas utilize os comentários abaixo!

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Frações






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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