MMC: Mínimo Múltiplo Comum

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MMC significa mínimo múltiplo comum. O MMC é uma operação para encontrar o menor número positivo, excluindo o zero, que é múltiplo comum entre todos os números dados.

O MMC pode ser usado, por exemplo, para encontrar um denominador comum quando fazemos operações com frações para que o denominador seja comum durante todo o processo.

Os múltiplos de um número podem ser encontrados multiplicando este número pelos números naturais.

Exemplo: 0, 8, 16, 24,32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … são múltiplos de 8, 8 foi multiplicado pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

O conjuntos dos múltiplos de um número é infinito. Perceba que os múltiplos do número 8 foi somando de 8 em 8.

Se quisermos saber se um número qualquer é múltiplo de outro temos que fazer a divisão entre eles, se obtivermos uma divisão exata, isto é, com resto zero, assim podemos dizer que tal número é múltiplo do outro.

Exemplo: No exemplo anterior mostramos os múltiplos de 8, então se quisermos saber se 48 é múltiplo de 8 basta dividir 48 por 8: 48 / 8 = 6. Então 48 é múltiplo de 8 pois ele é divisível por 8 com resto zero.

Índice do Artigo

Como calcular o MMC de dois ou mais números?

Para calcular o MMC entre os números dados devemos fazer o seguinte: decompor em fatores primos ou fazer a decomposição simultânea.

Decomposição em fatores primos

Encontrar o MMC pela decomposição em fatores primos deve obedecer as seguintes regras:

  • Decompor os números dados em fatores primos.
  • Colocar os fatores primos comuns ou não comuns com seus expoentes maiores.
  • Fazer o produto desses fatores primos.

Observação: os números primos são números que são divisíveis somente por ele e por 1 (um).

Exemplo: Calcular o mínimo múltiplo comum para os números 4, 6 e 12.

4 = 2², 2 é um número primo.

6 = 2 x 3, três também é primo.

12 = 2² x 3.

Agora pegamos os fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesse exemplo temos 2 e 3 apenas. Pegamos o 2² e 3, aqui 3 está elevado ao expoente 1.

Assim, o MMC de 4, 6 e 12 é o produto entre 2² x 3 = 4 x 3.

Logo: MMC(4; 6; 12) = 12.

Veja outro exemplo para clarear.

Calcular o MMC de 80, 20, 25:

80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5.

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5.

25 = 5 x 5 = 5².

Dividimos 80 pelos menor número primo que neste caso foi o 2, continuamos dividindo o resultado da divisão por 2, e por último por 5 que era o menor número primos que poderia continuar dividindo.

Agora peguemos os fatores primos com os maiores expoentes: 24 e 5². Fazemos o produtos entre eles: 24 x 5² = 16 x 25 = 400.

Daí, o MMC(80; 20; 25) = 400

Decomposição simultânea

A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir sucessivamente os números dados pelo menor fator primo, caso o número não seja divisível por aquele fator primo ele deve ser repetido.

O MMC é obtido pela multiplicação dos fatores primos usados durante a decomposição. Veja um exemplo para você entender melhor.

Veja como encontrar o menor múltiplo comum entre três números. Se tivermos três números 4, 6 e 8. Qual o mmc desses números através da decomposição simultânea?

MMC: Mínimo Múltiplo Comum, Decomposição simultânea
Decomposição simultânea

Dividimos 4, 6 e 8 pelo menor número primo que fosse divisível por pelo menor um deles, que foi o número 2. Depois verificamos se ainda tem números que podem ser dividido por 2, 2 e 4 são divisíveis por 2 e conservamos o 3.

No terceiro passo, ainda é possível dividir por 2, mantemos 1 e 3. No quarto passo, só é possível dividir por 3, conservando o resto dos outros números. Quando todos os restos forem 1, acaba o processo.

O mmc é a multiplicação dos números que dividimos. Utilizamos o 2 três vezes e o 3 uma vez no processo, assim temos: 2 x 2 x 2 ou 2³ e 3¹, logo, 2³ x 3¹ = 24.

Portanto, MMC(4; 6; 8) = 24

Vamos calcular o MMC para o exemplo anterior agora usando a decomposição simultânea.

Exemplo: Calcular o MMC para 80, 20 e 25.

MMC: Mínimo Múltiplo Comum, Decomposição simultânea
Decomposição simultânea

O MMC é usado para somar e subtrair frações, veja nossos artigos sobre soma e subtração de frações para melhor entender.

Propriedades do MMC

  1. O mmc de dois números primos entre si é o produto deles.
  2. O mmc de dois números em que o maior é divisível pelo menor é o maior deles.
  3. Multiplicando ou dividindo dois números por um outro número diferente de zero, o mmc aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
  4. Dividindo-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
  5. Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.

A decomposição simultânea tende a ser mais fácil, o aluno pode praticar encontrando o MMC para ouros números para fixar o aprendizado. Responda os execícios abaixo para fixar o que aprendemos.

Encontre o MMC para os números abaixo

a) O MMC de (3, 21, 2)

R: 42

b) O MMC de (39, 9, 7)

R: 819

c) O MMC de (100, 22, 10)

R: 1100

d) O MMC de (10, 20, 2)

R: 20

e) O MMC de (4, 8, 14)

R: 56

f) O MMC de (2, 4, 5, 21)

R: 420

g) O MMC de (3, 6, 5, 12)

R: 60

h) O MMC de (3, 7, 2)

R: 42

i) O MMC de (9, 3, 2)

R: 18

j) O MMC de (50, 25, 10, 5)

R: 50

Dúvidas utilize os comentários abaixo!

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