Equação do 1º Grau (Primeiro Grau)

Equação do 1º grau (primeiro grau) é nada mais do que uma igualdade entre as expressões, que as transformam em uma identidade numérica, para um ou para mais valores atribuídos as suas variáveis.

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Definição

É toda sentença aberta, redutível e equivalente a ax + b = 0, com a ∈ R* e b ∈ R.

Ou seja, a e b são números que pertencem ao conjuntos dos números reais (R), com a diferente de zero e x representa uma variável que não conhecemos (incógnita).

A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a solução para a equação. A variável que não conhecemos (incógnita) costumamos representá-la na equação pelas letras x, y e z.

Numa equação do primeiro grau, o expoente da incógnita é sempre 1.

Exemplo:

Essa equação se transforma numa identidade, fazendo:

A letra x na equação é denominada a variável da equação ou incógnita, enquanto que o número 3 é chamado de solução da equação, conjunto verdade ou raiz.

Na equação acima, o que está antes da igualdade é chamado de primeiro membro, e o que está do lado direito é chamado de segundo membro da equação.

Exemplo:

Tipos de equações

As equações podem ter uma ou mais incógnitas ou variáveis, como queira chamar:

Exemplos:

Observação: não importa se a variável apareceu várias vezes, o que conta é quantas variáveis diferentes tem na equação.

Exemplo: x + 1 = x + 2, temos uma variável, o x, e não duas, não é a quantidade que levamos em conta.

Forma normal de uma equação

Uma equação está na forma normal quando todos os seus termos estão no primeiro membro reduzido e ordenado segundo as potências decrescentes de cada variável.

Exemplos:

Ou seja, todos os termos estão antes da igualdade (1º membro).

Classificação de uma equação do 1º grau (primeiro grau)

As equações algébricas podem ser racionais e irracionais.

Racionais: quando a variável não tem nenhum expoente fracionário, ou seja, quando a incógnita não está sob um radical. Caso contrário, são ditas irracionais.

Exemplo:

2x – 16 = 0 (racional)

Classificação de uma equação do 1º grau (primeiro grau)

As equações racionais classificam-se em inteiras e fracionarias. São inteiras se todos os expoentes das incógnitas são números inteiros e positivos. Caso contrário, se existir uma incógnita no denominador ou, com expoente inteiro e negativo, a equação se diz fracionária.

Exemplo:

2x – 16 = 0  (racional inteira)

Classificação de uma equação

Equações equivalentes

Duas ou mais equações são equivalentes quando admitem a mesma solução ou mesmo conjunto verdade.

Exemplo:

Então podemos dizer que estas equações são equivalentes.

Equações numéricas

É a equação que não tem nenhuma outra letra diferente a não ser a das incógnitas.

Exemplo:

Equações literais

Toda equação que contém outra letra, além das que representam as variáveis.

Exemplo:

Equações possíveis e determinadas

São as equações que admitem um número finito de soluções que, neste caso, por ser uma equação do 1º grau só admite uma única solução.

Exemplo:

Equações possíveis e indeterminadas

Equações que admitem infinitas soluções, ou seja, um número infinito de soluções. Também denominada de identidades. Seu conjunto verdade é representado pelos números reais.

V = S = R (conjunto de todos os números reais)

Exemplo:

Equações impossíveis

São todas as equações que não admitem soluções. Seu conjunto solução é o conjunto vazio

Exemplo:

Não forma uma igualdade. Conjunto solução ou conjunto verdade é: V = S = {} = Ø (vazio)

Como resolver uma equação de primeiro grau?

Para resolver uma equação do primeiro grau deve-se levar em consideração que ao mudarmos as variáveis (incógnitas) e os valores numéricos de posição na equação, a igualdade deve continuar sendo verdadeira.

Também devemos ficar atento com o sinal de cada variável ou valor numérico, pois para que a igualdade continue valendo devemos inverter o sinal ao mudar de lado na equação, apenas quando se trata de uma adição ou subtração.

Dessa forma, uma multiplicação passa para o outro lado dividindo, uma divisão passa multiplicando, uma subtração passa somando e uma soma passa subtraindo. Veja:

Exemplo: Encontrar o valor de x na equação: 3x + 2 = x + 1

Como resolver uma equação do 1º grau (primeiro grau)

Dessa forma, o valor da variável x que torna a equação verdadeira é 12.

Vamos ver outro exemplo.

Exemplo: Encontrar o valor de x para a equação: -5x = -5

Existem duas formas de responder essa equação, multiplicando os dois lados por -1, para tornar toda a equação positiva ou manter o sinal e lembrar que durante a divisão de dois números negativos o sinal muda para positivo. Veja:

Como resolver uma equação do 1º grau (primeiro grau)

Atenção: sempre pode-se multiplicar os dois lados por -1, apesar de ser mais útil quando o lado que possui a incógnita for negativo.

Espero que tenha entendido. Bons estudos!

Exercícios propostos

Resolva os exercícios a seguir para fixar o aprendizado.

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Authorby Jean Carlos Novaes