Equação do 1º Grau (Primeiro Grau)

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Equação do primeiro grau é nada mais do que uma igualdade entre as expressões, que as transformam em uma identidade numérica, para um ou para mais valores atribuídos as suas variáveis.

Definição de uma equação do primeiro grau

É toda sentença aberta, redutível e equivalente a ax + b = 0, com a ∈ R* e b ∈ R.

Ou seja, a e b são números que pertencem ao conjuntos dos números reais (R), com a diferente de zero e x representa uma variável que não conhecemos (incógnita).

A incógnita é o valor que precisamos achar para encontrar a solução para a equação. A variável que não conhecemos (incógnita) costumamos representá-la na equação pelas letras x, y, z. Numa equação do primeiro grau o expoente da incógnita é sempre 1.

Exemplo:

  • 5 + x = 8

Essa equação se transforma numa identidade, fazendo:

  • x = 3     ⇒   5 + x = 8 ⇒   5 + 3 = 8  ⇒ 8 = 8  temos uma identidade.

A letra x na equação é denominada a variável da equação ou incógnita, enquanto que o número 3 é chamado de solução da equação, conjunto verdade ou raiz.

Na equação acima o que está antes da igualdade é chamado de primeiro membro, e o que está do lado direito é chamado de segundo membro da equação.

Exemplo:

  • 3x – 12       =       7 + x

    1° membro         2° membro

Tipos de equações

As equações podem ter uma ou mais incógnitas ou variáveis, como queira chamar:

Exemplos:

  • 4 + 2x = 11 + 3x (uma incógnita ou uma variável, a variável x)
  • y – 1 = 6x + 13 – 4y (duas incógnitas ou duas variáveis, x e y)
  • 8x – 3 + y = 4 + 5z – 2 (três incógnitas ou três variáveis, x,y, e z)

Observação: não importa se a variável apareceu várias vezes, o que conta é quantas variáveis tem na equação.

Exemplo: x + 1 = x + 2, temos uma variável, o x, e não duas, não é a quantidade que levamos em conta.

Forma normal de uma equação

Uma equação está na forma normal quando todos os seus termos estão no primeiro membro reduzido e ordenado segundo as potências decrescentes de cada variável.

Exemplos:

  • 5x – 20 = 0

Ou seja, todos os termos estão antes da igualdade (1º membro).

Classificação de uma equação do 1º grau (primeiro grau)

As equações algébricas podem ser racionais e irracionais.

Racionais: quando a variável não tem nenhum expoente fracionário, ou seja, quando a incógnita não está sob um radical. Caso contrário, são ditas irracionais.

Exemplo:

  • 2x – 16 = 0 (racional)
  • equação do primeiro grau, classificação

As equações racionais classificam-se em inteiras e fracionarias. São inteiras se todos os expoentes das incógnitas são números inteiros e positivos. Caso contrário, se existir uma incógnita no denominador ou, com expoente inteiro e negativo, a equação se diz fracionária.

Exemplo:

  • 2x – 16 = 0  (racional inteira)
  • equação fracionária do primeiro grau

Equações equivalentes

Duas ou mais equações são equivalentes quando admitem as mesmas soluções ou mesmos conjuntos verdade.

Exemplo:

  • 3x – 9 = 0  ⇒  admites 3 como solução (ou raiz)
  • 4 + x = 7  ⇒  admite 3 como solução (ou raiz)

Então podemos dizer que estas equações são equivalentes.

Equações numéricas

É a equação que não tem nenhuma outra letra diferente a não ser a das incógnitas.

Exemplo:

  • x – 5 = -2x + 22

Equações literais

Toda equação que contém outra letra, além das que representam as variáveis.

Exemplo:

  • 3ax – 5 = ax + 4 (variável x)

Equações possíveis e determinadas

São as equações que admitem um número finito de soluções que, neste caso, por ser uma equação do 1º grau só admite uma única solução.

Exemplo:

  • x – 2(x + 1) =  -3 (admite somente o número 1 como solução)
  • S = V = {1} conjunto unitário (conjunto que possui somente um elemento)

Equações possíveis e indeterminadas

Equações que admitem infinitas soluções, ou seja, um número infinito de soluções. Também denominada de identidades. Seu conjunto verdade é representado pelos números reais.

V = S = R (conjunto de todos os números reais)

Exemplo:

  • 5x – 2y = 105 (admite infinitas soluções)

Equações impossíveis

São todas as equações que não admitem soluções. Seu conjunto solução é o conjunto vazio

Exemplo:

  • x + 2 = x + 3 ⇒ x – x = -2 + 3 ⇒ 0 = 1

Não forma uma igualdade.

Conjunto solução ou conjunto verdade: V = S = {} = Ø = vazio

Como resolver uma equação de primeiro grau?

Para resolver uma equação do primeiro grau deve-se levar em consideração que ao mudarmos as variáveis (incógnitas) e os valores numéricos de posição na equação, a igualdade deve continuar sendo verdadeira.

Também devemos ficar atento com o sinal de cada variável ou valor numérico, pois para que a igualdade continue valendo devemos inverter o sinal ao mudar de lado na equação apenas quando se trata de uma adição ou subtração.

Dessa forma, uma multiplicação passa para o outro lado dividindo, uma divisão passa multiplicando, uma subtração passa somando e uma soma passa subtraindo. Veja:

Exemplo: Encontrar o valor de x na equação 3x + 2 = x + 1

solução de uma equação do primeiro grau

Dessa forma o valor da variável x que torna a equação verdadeira é -12.

Vamos ver outro exemplo.

Exemplo: Encontrar o valor de x para a equação -5x = -5

Existe duas formas de responder essa equação, multiplicando os dois lados por -1 para tornar toda a equação positiva ou manter o sinal e lembrar que durante a divisão de dois números negativos o sinal muda para positivo. Veja:

solução de uma equação do primeiro grau

Atenção: a multiplicação por -1 só deve acontecer quando os dois lados são negativos, caso contrário não terá efeito agradável.

Espero que tenha entendido.

Favorite, curta e compartilhe! 😉 Bons estudos.

Exercícios propostos para equação de primeiro grau

Resolva os exercícios a seguir para fixar o aprendizado.

a) 4x + 3 = 0

R: x = -34

b) 5x + 3 = 2 + x

R: -14

c) 6x + 3 = 4x + 5

R: x = 1

Dúvidas? Utilize os comentários abaixo.

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Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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