Equação do 2° Grau (Segundo Grau)

Uma equação do 2° grau é uma equação que tem duas incógnita x, sendo que uma delas possuem um grau igual a 2.

Exemplo:

2x² + 5x + 3 = 0 (essa é uma equação do segundo grau, veja o grau 2 na primeira incógnita)

 

 

Toda equação do 2° grau tem a seguinte forma:

ax² + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e com a ≠ 0.

Chamamos a, b e c de coeficientes, a é sempre coeficiente de , b é sempre coeficiente de x e c é sempre coeficiente do termo independente.

 Exemplo:

3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.

x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = -1, c = -1.

9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = -5, c = 0.

5x² -4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = -4.

Equação do 2° grau completa e incompleta

Uma equação do 2° é chamada completa quando os coeficientes b e diferentes de zero.

Exemplos:

2x² + 3x + 3 = 0

x² + x + 1 = 0

São equações completas.

 

Uma equação do 2° grau é chamada incompleta quando os coeficientes b ou é igual a zero, basta um deles ser igual a zero, ou ambos serem iguais a zero.

Exemplos:

x² – 3 = 0  (b = 0)

2x² + x = 0 (c = 0)

5x² = 0 (b = 0 e c = 0)

Raízes de uma equação do 2° grau

Para resolvermos uma equação do 2° grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas torna a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação forma o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.

 

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método mais fácil para encontrarmos as raízes da equação.

    \[x =  \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

 

Exercício resolvido de uma equação do 2° grau

Encontre a solução para a seguinte equação: x² – 5x + 6 = 0

Resposta:

Primeiro vamos encontrar os coeficientes da equação, isto é, os valores de a, b e c.

a = 1

b = -5

c = 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara, substituindo os valores correspondentes aos coeficientes a, b e c, para encontramos as raízes da equação:

    \[x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}\]

(-(-5)) = 5 e (-5)² = (-5) x (-5) = 25 (menos com menos é mais, estude potenciação)

 Vamos separar a equação, pois temos que analisar separados, ou seja, quando verificarmos para + chamaremos de x1 e quando verificarmos para – chamaremos de x2. Veja:

    \[x1 = \frac{5 + \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow\]

    \[x1 = \frac{5 + \sqrt{25 - 24}}{2} \Rightarrow\]

    \[x1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} \Rightarrow\]

    \[x1 = \frac{5 + 1}{2} \Rightarrow\]

    \[x1 = \frac{6}{2} \Rightarrow\]

    \[x1 =  3\]

 

 

    \[x2 = \frac{5 - \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow\]

    \[x2 = \frac{5 - \sqrt{25 - 24}}{2} \Rightarrow\]

    \[x2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} \Rightarrow\]

    \[x2 = \frac{5 - 1}{2} \Rightarrow\]

    \[x2 = \frac{4}{2} \Rightarrow\]

    \[x2 =  2\]

Então, agora encontramos as raízes da equação: x1 = 3 e x2 = 2

Estas são as raízes da equação, ou seja, o conjunto solução que resolve a equação. Que torna ela verdadeira.

S = {2, 3}

Veja:

Se substituirmos as raízes veremos que elas realmente resolvem a equação.

    \[2^2 - 5 \times 2 + 6 = 0  \Rightarrow\]

    \[4 - 10 + 6 = 0   \Rightarrow\]

    \[0 = 0 (verdade)\]

    \[3^2 - 5 \times 3 + 6 = 0  \Rightarrow\]

    \[9 - 15 + 6 = 0   \Rightarrow\]

    \[0 = 0 (verdade)\]

 

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