Equação do 2º Grau (Segundo Grau)

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Uma equação do segundo grau é uma equação que tem duas incógnita x, sendo que uma delas possuem um grau igual a 2.

Índice do Artigo

Definição de uma equação do segundo grau

Chamamos de equação do segundo grau as equações do tipo ax² + bx + c = 0 com a, b e c ∈ R, onde a ≠ 0.

Os parâmetros da equação do segundo grau são:

  • a – coeficiente principal
  • b – coeficiente secundário
  • c – termo independente

Exemplo:

  • 2x² + 5x + 3 = 0 (essa é uma equação do segundo grau, veja o grau 2 na primeira incógnita)

Chamamos a, b e c de coeficientes, a é sempre coeficiente de , b é sempre coeficiente de x e c é sempre coeficiente do termo independente.

Exemplo:

  • 3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.
  • x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = –1, c = –1 .
  • 9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = –5, c = 0.
  • 5x² – 4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = –4.

Formula de Bhaskara

Toda equação do segundo grau pode apresentar até duas soluções diferentes. Em todos os casos estas soluções podem ser obtidas pela fórmula de Bhaskara

Formula de Bhaskara
Formula de Bhaskara

Raízes de uma equação do 2° grau

Para resolvermos uma equação do 2° grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas torna a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação forma o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.

As soluções da equação do segundo grau são chamadas de raízes da equação, sobretudo por apresentar na fórmula de Bhaskara uma radiciação. São apresentadas de forma separadas por x1 e x2. Onde:

Raízes de uma equação do 2° grau
Raízes de uma equação do 2° grau

Dentro do radical da fórmula de Bhaskara temos b² – 4ac, chamado de discriminante. Ele é apresentado pela letra grega maiúscula delta (Δ). O delta determina o total de soluções da equação do segundo grau no conjunto dos números reais.

Assim:

  • Se Δ > 0 então a equação admite várias soluções em R.
  • Se Δ = 0 então a equação admite uma única solução em R.
  • Se Δ < 0, ou seja, Δ for negativo, a equação não admite solução em R

Equação do 2° (segundo) grau completa e incompleta

Uma equação do 2° (segundo) grau é chamada completa quando os coeficientes b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

  • 2x² + 3x + 3 = 0
  • x² + x + 1 = 0

São equações completas.

Uma equação do 2° (segundo) grau é chamada incompleta quando os coeficientes b ou c é igual a zero, basta um deles ser igual a zero, ou ambos serem iguais a zero.

Exemplos:

  • x² – 3 = 0  (b = 0)
  • 2x² + x = 0 (c = 0)
  • 5x² = 0 (b = 0 e c = 0)

São equações incompletas.

Como resolver uma equação do segundo grau?

Para resolver uma equação do segundo grau primeiro precisamos identificar o tipo de equação. Se for completa, resolveremos de uma forma e se for incompleta resolveremos de outra forma. Vamos aprender todas elas.

Resolução uma equação do segundo grau completa

Para resolver uma equação do segundo grau completa a ideia é que comecemos a resolver pelo discriminante, e assim podemos resolver em dois passos a equação:

  • Primeiro passo é encontrar o valor do discriminante: Δ = b² – 4ac
  • Então o segundo passo só deve ser resolvido se o valor de discriminante for maior ou igual a zero. Caso seja, usamos a expressão:
Resolução uma equação do segundo grau completa

Se o valor do discriminante for negativo, não ha como realizar o segundo passo levando em consideração o conjunto dos números reais. Portanto, a equação não possui uma solução real.

Vamos ver um exemplo:

Encontre a solução para a seguinte equação: x² – 5x + 6 = 0

Resposta:

Observe que temos uma equação do segundo grau completa. Primeiro vamos encontrar os coeficientes da equação, isto é, os valores de a, b e c.

x² – 5x + 6 = 0

a = 1

b = –5

c = 6

Vamos executar os passo para resolver essa equação:

  1. Primeiro passo: (Δ = b² – 4ac)

    Δ = (-5)² – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 (Δ > 0)

    Como delta é maior que zero, vamos realizar o segundo passo

  2. Segundo passo: 

Resolução uma equação do segundo grau completa

Temos que substituir na expressão acima os valores para os coeficientes a, b e o resultado do cálculo do descriminante Δ.

Resolução uma equação do segundo grau completa

Agora temos que analisar em relação aos sinais de mais (+) e de menos (-). Para o sinal de mais vamos chamar a expressão de x1 e para o sinal de menos vamos chamar de x2.

  • Para x1 temos:
  • Para x2 temos:
Resolução uma equação do segundo grau completa

Na expressão já tínhamos o -b e ao adicionar o -5 ficou -(-5), então –(–5) = 5. E a raiz quadrada de 1 é 1, esse 1 vem do resultado do primeiro passo que foi o cálculo do descriminante Δ. No mais não há segredo.

Dessa forma, encontramos as duas raízes que formam o conjunto solução da equação dada neste exemplo. O conjunto solução que resolve a equação. Que torna ela verdadeira.

Logo, S = {2, 3}

Veja:

Se substituirmos as raízes veremos que elas realmente resolvem a equação.

Resolução uma equação do segundo grau completa

Temos uma igualdade para a raiz de número 2.

Resolução uma equação do segundo grau completa

Também temos uma igualdade para a raiz de número 3. Portanto, encontramos realmente as raízes que resolvem essa equação.

Vamos ver outro exemplo para o caso em que Δ = 0.

Encontre as raízes da equação 4x² – 4x + 1 = 0

Pela equação temos os coeficientes:

a = 4

b = -4

c = 1

  1. Primeiro passo vamos calcular o discriminante (Δ = b² – 4ac):

    Δ = (-4)² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

  2. Segundo passo substituir os valores na expressão:

Substituindo os valores aos coeficientes correspondentes, temos:

Resolução uma equação do segundo grau completa

Portanto, S = {12}

Perceba que quando Δ = 0 temos somente um raiz que resolve a equação.

Vamos ver agora um exemplo para o caso em que Δ < 0, ou seja, Δ negativo.

Calcule as raízes da equação: 5x² + x + 6 = 0

Os coeficientes da equação são:

a = 5

b = 1

c = 6

  1. Primeiro passo é calcular o Δ (Δ = b² – 4ac):

    Δ = 1² – 4.5.6 = 1 – 120 = -119

    Como temos Δ < 0, ou seja, o valor do descriminante é negativo, não conseguiremos realizar o segundo passo. Dessa forma, não há como encontrar raízes para essa equação no conjunto dos reais.

    Portanto, o conjunto solução para essa equação é vazio: S = {} = Ø

Para finalizar vamos resolver um problema de equação do segundo grau mais complexo onde precisaremos simplificar as raiz.

Resolva a seguinte equação do segundo grau: x² + 6x + 7 = 0

Vamos descrever os coeficientes:

a = 1

b = 6

c = 7

  1. Calculando o Δ (Δ = b² – 4ac):

    Δ = 6² – 4.1.7 = 36 – 28 = 8

  2. Segundo passo é substituir os valores na expressão:
     
  • Para x1 temos: 
Resolução uma equação do segundo grau completa
  • Para x2 temos:

Resolução uma equação do segundo grau completa

Essa é uma resposta mais complexa pois tivemos que simplificar a raiz, após a simplificação dividimos os valores no numerador por 2. Esse processo de simplificar raiz pode ser estudado em radiciação.

Resolução de uma equação do segundo grau incompleta

Equações do segundo grau do tipo ax² + bx = 0 e ax² + c = 0, com a ≠ 0, são chamadas de equações incompletas pois não possuem todos os parâmetros como uma equação completa.

Uma equação incompleta pode também ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara da mesma forma que resolvemos uma equação completa, caso o aluno entenda ser mais fácil usar a fórmula. Dessa forma, temos que considerar c = 0 no primeiro caso e b = 0 no segundo caso.

Vamos aqui mostrar uma maneira mais eficiente e mais rápida de resolver uma equação incompleta do segundo grau. Vamos ver:

Considere as equações abaixo:

  • 3x² – 2x = 0
  • x² + x = 0
  • 8x² + 6x = 0

As equações acima são da forma ax² + bx = 0, com a ≠ 0.

Todas as equação que não possuem o termo independente c, como as equações acima, ou seja, c = 0, admite x = 0 como solução da equação. Como todos os termos dependem da variável x, e x é nulo, os termos também serão anulado. Isso vale para qualquer equação independente do grau.

Encontramos, assim, uma das raízes da equação. O zero (0) é uma das soluções das equações acima. Para achar a outra raiz vamos fatorar o primeiro membro da equação:

Resolução uma equação do segundo grau incompleta

Dividimos os dois lados por x.

Dessa forma o conjunto solução para equações do tipo ax² + bx = 0 é dado por:

Resolução uma equação do segundo grau incompleta

Agora veja como resolver as equações dadas no exemplo acima utilizando esta fórmula.

  • 3x² – 2x = 0 :

    a = 3

    b = -2

    Assim, uma solução é 0, a outra é -b/a = -(-2)/3 = 23
    Logo: S = {0, 23}

  • x² + x = 0

    a = 1

    b = 1

    Solução é: S = {0, -1}, substituímos direto.

  • 8x² + 6x = 0

    a = 8

    b = 6

    Solução: S = {0, –34}; -b/a = –68 = –34

Perceba que sabendo disso resolvemos rapidamente sem precisar fazer todos os passos da fórmula de Bhaskara. Em uma prova esse procedimento pode economizar tempo.

Para equações do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0, é similar. Mas neste caso x = 0 não é solução da equação. Vamos então encontrar uma formula que resolva equações do segundo grau incompleta, com b = 0.

Fatorando ax² + c = 0, temos:

Resolução uma equação do segundo grau incompleta

Portanto, para equação do segundo grau incompleta do tipo ax² + c = 0, o conjunto solução é:

Se a e c tiverem sinais contrários, ou S = Ø se a e c tiverem o mesmo sinal, para x ∈ R.

Exemplo:

Considere as equações incompletas abaixo:

x² – 2 = 0

a = 1

c = – 2

Solução:

Resolução uma equação do segundo grau incompleta
Resolução uma equação do segundo grau incompleta

2x² + 1 = 0

a = 2

c = 1

Solução: S = Ø, pois a e c tem o mesmo sinal.

Portanto, o aluno sabendo estas fórmulas para achar a solução para as equações incompletas do segundo grau, o processo de resolução torna-se mais eficiente e rápido. Não é necessário decorar, entenda o processo de fatoração que fizemos acima.

Interessante, não é?

Veja uma nova forma de encontrar as raízes de uma equação do segundo grau sem utilizar a fórmula de Bháskara, através da soma e produto

Exercícios de equações do segundo grau abaixo

Resolva os exercícios abaixo para fixar o aprendizado, qualquer dúvida utilize os comentários abaixo.

a) 3x² – x – 2 = 0

R: S = {1; –23}

b) 2x² – 7x = 0

R: S = {0; 72}

c) 4x² + 2 = 0

R: S = Ø

d) 4x² – 16 = 0

R: S = {-2, +2}

e) 5x² + 8x + 10 = 0

R: S = Ø

Bons estudos!

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