Soma e Produto: Raízes da Equação do 2° Grau

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Soma e produto é uma técnica que podemos utilizar para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau sem utilizar a fórmula de Bhaskara.

Uma equação do segundo grau possui a seguinte forma:

  • ax² + bx + c = 0, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0.

Onde:

  • a: coeficiente principal;
  • b: coeficiente secundário;
  • c: termo independente.

Quando resolvemos uma equação do segundo grau e utilizamos a fórmula de Bhaskara, podemos chegar nas seguintes possibilidades.

  • ∆ > 0: a equação possui duas raízes reais e distintas.
  • ∆ = 0: uma única raiz real e distinta.
  • ∆ < 0: nenhuma raiz real.

Se a equação possui raízes reais, podemos aplicar o seguinte método prático para encontrá-las:

  • Soma das raízes: (x1 + x2)
  • Produto das raízes: (x1 * x2)

Vamos aplicar o método acima para chegar a uma fórmula que possamos encontrar as raízes da equação, para isso vamos fazer a soma e o produto das fórmulas abaixo:

formula para x1
formula para x1

A partir dos dados acima, temos as seguintes expressões que podemos usar para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, através da soma e produto.

Soma:

soma de x1 e x2

Produto:

produto de x1 e x2

Sabendo que ∆ = b² – 4ac.

Com as fórmulas acima, podemos encontrar as raízes para uma equação do segundo grau. Vamos ver um exemplo prático como funciona.

Exemplo:

Seja a equação x² – 5x + 6 = 0, encontre as raízes que resolvem a equação. Veja o passo-a-passo sobre como fazer:

Passo 1: anotar os valores dos coeficientes da equação:

  • a = 1;
  • b = -5;
  • c = 6;

Passo 2: aplicar as fórmulas que definimos acima:

Soma:

soma e produto

Produto:

soma e produto

Passo 3: encontrar valores em que a soma (S) seja igual a 5 e o produto (P), seja igual a 6. É ideal começar pelos números candidatos ao produto, pois fica mais fácil.

Você deve perguntar: quais os número que eu multiplico e chego no resultado do produto?

Números candidatos para o produto:

  • 2 . 3 = 6
  • 1 . 6 = 6
  • (-1) . (-6) = 6

Os números candidatos para a soma, dos números acima, é a primeira opção, pois:

  • 2 + 3 = 5

Portanto, as raízes que formam o conjunto solução da equação: x² – 5x + 6 = 0 são 2 e 3.

Logo, S = {2, 3}.

Vamos conferir:

  • 2: 2² – 5 . 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
  • 3: 3² – 5 . 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0

Legal, não é mesmo? Bem mais simples que utilizar a fórmula de Bhaskara. Devendo então anotar as fórmulas acima para da soma e do produto para x1 e x2.


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