Matrizes: Definições e Operações

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Uma matriz é a organização de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas. Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz.

Definição de matrizes

Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com n e m ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.

Representação de matrizes

Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:

  • Colchetes: [ ]
  • Parênteses: ( )
  • Barras Simples: | |
  • Barras Duplas: || ||

Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.

Exemplos:

Representação de matrizes

Elementos de uma matriz

Seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linas e n o número de colunas. Então, temos:

Matriz genérica

Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizar um elemento na coluna, procura-se o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.

Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas da esquerda para a direita, enquanto que as colunas são numeradas de cima para baixo.

Exemplos:

  • a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1.
  • a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
  • a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2.
  • amn representa o elemento da linha m e coluna n.

Seja a matriz

Elementos de uma matriz
assim:

  • a11 representa o elemento 1.
  • a12 representa o elemento 4.
  • a13 representa o elemento 0.
  • a21 representa o elemento -2.
  • a22 representa o elemento 4.
  • a23 representa o elemento 3.

Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente.

Exemplo:

Considere a matriz M = [aij]2x3 tal que aij = i + j. Escreva a matriz M.

Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim:

  • Escrevendo os elementos:

    • a11 = 1 + 1 = 2.
    • a12 = 1 + 2 = 3.
    • a13 = 1 + 3 = 4.
    • a21 = 2 + 1 = 3.
    • a22 = 2 + 2 = 4.
    • a23 = 2 + 3 = 5.
  • Então a matriz M é:

    Matriz M

Matrizes Especiais

Vamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.

Matriz Linha

É uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1xn)

Exemplo:

Matriz linha

Matriz Coluna

É uma matriz que possui uma única coluna (ordem mx1)

Exemplo:

Matriz coluna

Matriz Nula

É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:

Matriz nula

Matriz Quadrada

É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n

Exemplo:

Matriz quadrada

Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:

Matriz quadrada diagonal principal e secundária
  • Elementos da diagonal principal da matriz A.

    Matriz quadrada diagonal principal
  • Elementos da diagonal secundária da matriz A.

    Matriz quadrada diagonal secundária

Obervação:

Quando a matriz não é quadrada chamamos de matriz retangular.

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos.

Exemplo:

Matriz diagonal

Matriz Identidade

É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.

Exemplos

  • I2 = Matriz identidade de ondem 2
    Matriz identidade
  • I3 = Matriz identidade de ondem 3
    Matriz identidade

Matriz Oposta

É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Matriz oposta

Então a matriz oposta -A é:

Matriz oposta

Matriz Transposta

Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.

Exemplo:

Seja a matriz A = [aij]mxn a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.

Matriz transposta

Propriedade da transposta

Considere as matrizes A e B e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

  1. (A + B)t = At + Bt
  2. (a.A)t = a.At
  3. (At)t = A
  4. (A.B)t = Bt.At
  5. Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual a sua transposta: A = At.
  6. Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual a oposta da sua transposta: A = -At.
  7. Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua inversa: At = A-1.

Operações entre Matrizes

Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir:

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.

Exemplo:

Igualdade de matrizes

Adição de Matrizes

Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes deve ter mesma ordem.

Exemplo:

Seja A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matrix C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:

Adição de matrizes

Propriedades da adição de matrizes

Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

  1. Comutativa: A + B = B + A
  2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  3. Elemento neutro: A + N = N + A = A
  4. Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
  5. (A + B)t = At + Bt

Subtração de Matrizes

Para fazer a subtração de duas matrizes devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna. As matrizes deve ter mesma ordem.

Exemplo:

Seja A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A - B, obtendo uma matrix C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja:

Subtração de matrizes

Multiplicação de um número real por uma Matriz

Seja Amxn uma matriz e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.

Exemplo:

Multiplicação de matrizes

Propriedades

Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

  1. 1 . A = A
  2. (-1) x A = -A
  3. a . 0 = 0
  4. 0 . Amxn = 0mxn
  5. a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn
  6. a . (A + B) = a . A + a . B
  7. (a + b) . A = a . A + b . A

Multiplicação entre Matrizes

Considere as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da coluna j de B.

Exemplo:

Considere as matrizes A e B, então A x B é:

Multiplicação de matriz por matriz

Observações importantes:

  1. A multiplicação de matriz somente é possível se o número de linhas em uma matriz for igual ao número de colunas da outra matriz.
  2. A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Matrizes e Determinantes

O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A.

Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

  1. Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.

    A = [a] ⇒ det A = a

  2. Determinante de uma matriz de ordem 2

    matrizes e determinantes
  3. Determinantes de uma matriz de ordem 3

    Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3.

    Considere a matriz A quadrada de ordem 3:

    matrizes e determinantes

    Copiamos a 1ª e a 2ª colunas para a direita da matriz:

    matrizes e determinantes

    Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo colocando o sinal como especificado na imagem:

    matrizes e determinantes

    det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 - a11 . a23 . a32 - a12 . a21. a33

    A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado.

Determinante de matrizes de ordem superior a 3

Para matrizes de ordem superior a 3 devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij).

Cofator ou complemento algébrico (Mij)

Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:

Mij = (-1)i + j . Dij

Onde i e j são os índices do elemento em questão e Dij representa o determinante da matriz que fica com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.

Exemplo:

Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:

Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace

Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:

Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace

Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:

M23 = (-1)2 + 3 . D23 = (-1)5 . cofator= (-1).(1 . 3 - 0 . 2) = (-1) . 3 = -3

Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz que sobra depois que excluímos a linha e coluna para o elemento M23

Teorema de Laplace

O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4.

Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.

Exemplo:

Considere a matriz a seguir:

Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace

Resolução:

Olhando a matriz A, vamos escolher a primeira linha como referência pois temos um número maior de zero e isso nos ajudará a fazer menos cálculos.

Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace

Assim:

det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13

Agora temos que determinar as matrizes D11 e D13 removendo as linhas e colunas para os elementos da posição Dij.

Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace
Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace

Então:

det (A) = D11 + 2D13 = Cálculo do determinante utilizando o teorema de Laplace = 0 + 1 + 6 - 0 - 2 - 6 + 2 . [12 - 1 + 2 - (-3) - 2 - 4] ⇒ det (A) = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19

Portanto, det (A) = 19

Acima calculamos o determinante para D11 e D13 utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

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Bons estudos! 😄

Leia também…

Matriz Identidade

Matriz Transposta

Matrizes e Determinantes

Matriz Inversa






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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