Matrizes: Definições e Operações

Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas.

Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz.

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Definição de matrizes

Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.

Representação de matrizes

Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:

Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.

Exemplos:

Representação de matrizes

Elementos de uma matriz

Seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:

Matriz genérica

Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.

Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto que as colunas são numeradas da esquerda para a direita.

Exemplos:

Seja a matriz

matriz a

assim:

Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente.

Exemplo:

Considere a matriz M = [aij]2×3, tal que aij = i + j. Escreva a matriz M.

Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim:

Escrevendo os elementos:

Então a matriz M é:

matriz m

Matrizes Especiais

Vamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.

Matriz Linha

É uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n)

Exemplo:

Matriz Linha

Matriz Coluna

É uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1)

Exemplo:

Matriz Coluna

Matriz Nula

É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:

Matrizes Nula

Matriz Quadrada

É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n

Exemplo:

Matriz Quadrada

Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:

Diagonal principal e diagonal secundária

Elementos da diagonal principal da matriz A.

Diagonal principal

Elementos da diagonal secundária da matriz A.

Diagonal secundária

Obervação:

Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la de matriz retangular.

Matriz Diagonal

É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos.

Exemplo:

Matriz Diagonal

Matriz Identidade

É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.

Exemplos

I2 = Matriz identidade de ondem 2

Matriz identidade

I3 = Matriz identidade de ondem 3

Matriz identidade

Leia mais sobre matriz identidade.

Matriz Oposta

É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Matriz Oposta

Então a matriz oposta -A é:

Matriz Oposta

Matriz Transposta

Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.

Exemplo:

Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.

Matrizes Transposta

Propriedade da transposta

Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

Operações entre Matrizes

Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir:

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.

Exemplo:

Igualdade de Matrizes

Adição de Matrizes

Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.

Exemplo:

Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:

Adição de Matrizes

Propriedades da adição de matrizes

Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

Subtração de Matrizes

Para fazer a subtração de duas matrizes, devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.

Exemplo:

Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A – B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja:

Subtração de Matrizes

Multiplicação de um número real por uma Matriz

Seja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.

Exemplo:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Propriedades

Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

  1. 1 . A = A
  2. (-1) x A = -A
  3. a . 0 = 0
  4. 0 . Amxn = 0mxn
  5. a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn
  6. a . (A + B) = a . A + a . B
  7. (a + b) . A = a . A + b . A

Multiplicação entre Matrizes

Considerem as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da coluna j de B.

Exemplo:

Considerem as matrizes A e B, então A x B é:

Multiplicação de matrizes

Observações importantes:

  1. A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.
  2. A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Matrizes e Determinantes

O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A.

Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.

A = [a] ⇒ det A = a

Determinante de uma matriz de ordem 2

Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Determinante de uma matriz de ordem 3

Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3.

Considere a matriz A quadrada de ordem 3:

matrizes de ordem 3

Copiamos a e a 2ª coluna para a direita da matriz:

 regra de sarrus matrizes

Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como especificado na imagem:

Regra de Sarrus

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33

A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado.

Determinante de matrizes de ordem superior a 3

Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij).

Cofator ou complemento algébrico (Mij)

Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:

Mij = (-1)i + j . Dij

Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.

Exemplo:

Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:

cofator

Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:

Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:

matriz

Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23.

Teorema de Laplace

O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4.

Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

Resolução:

Olhando a matriz A, vamos escolher a primeira linha como referência pois temos um número maior de zero e isso nos ajudará a fazer menos cálculos.

matriz A

Assim:

det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13

Agora temos que determinar as matrizes D11 e D13, removendo as linhas e colunas para os elementos da posição Dij.

cofator
cofator

Então:

Portanto, det (A) = 19

Acima calculamos o determinante para D11 e D13 utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

Leia também…

Matriz Identidade

Matriz Transposta

Matrizes e Determinantes

Matriz Inversa

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Authorby Jean Carlos Novaes