Exercícios com Sistemas Lineares, Resolvidos

Teste seus conhecimentos respondendo os exercícios a seguir sobre sistemas lineares.



1) Resolva o sistema abaixo utilizando a regra de Cramer.

sistemas-lineares

Na regra de Cramer calculamos o determinante principal e depois os secundários substituindo a coluna das variáveis pela coluna dos termos independente.

Vamos lá, para o sistema da questão temos a seguinte matriz associada:

sistemas-lineares

Vamos calcular o determinate usando a regra de Sarrus. Assim, calculando o determinante principal desta matriz, temos:

sistemas-lineares

det(D) = 1 . 1 . 1 + 3 . 1 . 3 + (-1) . 2 . (-1) – 3 . 1 . (-1) – (-1) . 1 . 1 – 1 . 2 . 3 = 10

Agora vamos calcular o determinante secundário Dx, antes devemos substituir toda a coluna do x pela coluna do termo independente. Assim:

det(Dx) = 0 . 1 . 1 + 3 . 1 . 3 + (-1) . 1 . (-1) – 3 . 1 . (-1) – (-1) . 10 -1 . 1 . 3 = 10

Próximo passo é calcular o determinante Dy, antes vamos substituir a coluna y pela coluna do termo independente. Então:

det(Dy) = 1 . 1 . 1 + 0 . 1 . 3 + (-1) . 2 . 3 – 3 . 1 . (-1) – 3 . 1 . 1 – 1 . 2 . 0 = – 5

Por fim, vamos calcular o determinante secundário Dz, antes vamos substituir a coluna z pela coluna do termo independente. Logo:

sistemas-lineares

det(Dz) = 1 . 1 . 3 + 3 . 1 . 3 + 0 . 2 . (-1) – 3 . 1 . 0 – (-1) . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = – 5

Dessa forma, podemos achar os valores de x, y e z fazendo:

Portanto, a solução do sistema é: x = 1, y = z = – 1/2



2) Determine o valor de x no sistema abaixo, utilize a regra de Cramer.

Vamos utilizar a regra de Sarrus para calcular o determinante principal.

sistemas lineares

Assim, det(D) = 2 . 2 . 1 + 1 . (-1) . 3 + 1 . (-2) . 1 – 3 . 2 . 1 – 1 . (-1) . 2 – 1 . (-2) . 1= -3

Vamos calcular agora o determinante secundário Dx, substituindo a coluna do x pelo termo independente. Veja!

sistemas-lineares-2-2

det(Dx) = 3 . 2 . 1 + 1 . (-1) . 1 + 1 . 0 . 1 – 1 . 2 . 1 – 1 . (-1) . 3 – 1 . 0 . 1 = 6

Próximo passo é calcular o determinante secundário para Dy, substituindo a coluna do y pelo termo independente. Assim:

det(Dy) = 2 . 0 . 1 + 3 . (-1) . 3 + 1 . (-2) . 1 – 3 . 0 . 1 – 1 . (-1) . 2 – 1 . (-2) . 3 = -3

Por fim, o determinante secundário para Dz, substituindo a coluna do z pelo termo independente. Logo:

Então, det(Dz) = 2 . 2 . 1 + 1 . 0 . 3 + 3 . (-2) . 1 – 3 . 2 . 3 – 1 . 0 . 2 – 1 . (-2) . 1 = -18

Com os determinantes principal e secundário calculados podemos encontrar os valores de x, y e z fazendo:

sistemas-lineares-2-5

sistemas-lineares

Portanto, a solução do sistema é: x = -2, y = 1 e z = 6


3) Usando escalonamento, resolva o sistema a seguir:

sistemas lineares

Utilizando escalonamento para resolver o sistema, temos os seguinte passos:

sistemas-lineares

Portanto, a solução do sistema é: x = 3, y = 3/2 e z = 5

Imagens: (https://matrixcalc.org/pt/)



4) Se x, y e z são a solução do sistema linear

Determine o produto entre x, y e z.

A matriz associada ao sistema é:

sistemas-lineares

Calculando o determinante principal, temos que

det(D) = 1 . 2 . 5 + 1 . 2 . 1 + 1 . 1 . 4 – 1 . 2 . 1 – 4 . 2 . 1 – 5 . 1 . 1 = 1

O determinante secundário Dx é:

Temos que det(Dx) =1 . 2 . 5 + 1 . 2 . 4 + 1 . 2 . 4 – 4 . 2 . 1 – 4 . 2 . 1 – 5 . 2 . 1 = 0

O determinante secundário Dy é:

Logo, det(Dy) = 1 . 2 . 5 + 1 . 2 . 1 + 1 . 1 . 4 – 1 . 2 . 1 – 4 . 2 . 1 – 5 . 1 . 1 = 1

Por fim, o determinante secundário Dz é:

sistemas-lineares

Assim, det(Dz) = 1 . 2 . 4 + 1 . 2 . 1 + 1 . 1 . 4 – 1 . 2 . 1 – 4 . 2 . 1 – 4 . 1 . 1 = 0

Agora que temos o determinante principal e os secundários, vamos calcular os valores de x, y e z, fazendo:

sistemas-lineares

Portanto, a solução do sistema é: x = 0, y = 1 e z = 0; e o produto x . y . z = 0 . 1 . 0 = 0


Mostramos como resolver exercícios com sistemas lineares usando a regra de Cramer e escalonamento, que são as formas mais usuais de resolver sistema.

Pratique resolvendo mais exercícios sobre sistema de equações e matrizes que também ajudam na resolução de sistemas lineares. Acesse:

Bons estudos!

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Authorby Jean Carlos Novaes