Inverse matrix: formule, voorwaarden en voorbeelden

Een inverse matrix maakt een vierkante lineaire transformatie ongedaan. Voor een vierkante matrix $A$ voldoet een inverse $A^{-1}$ zowel aan $A{A}^{-1}=I$ als aan $A^{-1}A=I$. De exponent min één betekent niet dat van ieder element het omgekeerde wordt genomen. Hij beschrijft een inverse onder matrixvermenigvuldiging, waarbij volgorde en afmetingen ertoe doen.

Een determinant ongelijk aan nul is de test voor een vierkante matrix

Een vierkante matrix is precies dan inverteerbaar als haar determinant niet nul is. Bij determinant nul beeldt de transformatie minstens één niet-nulvector af op de nulvector. Verschillende invoeren kunnen dan dezelfde uitvoer geven en geen tweezijdige inverse kan ze terugvinden. Zo'n matrix heet singulier.

Voor een twee-bij-twee-matrix is de determinant $ad-bc$. Verwissel de diagonaalelementen $a$ en $d$, verander de tekens van $b$ en $c$ en deel ieder nieuw element door de determinant. Deze formule is alleen geldig als die noemer niet nul is.

Onderzoek een twee-bij-twee-matrix en haar inverse

Verander de elementen en bekijk het getransformeerde vierkant, de determinant en de inverse.

Element aElement bElement cElement d

Uitgewerkt voorbeeld: bereken en controleer de inverse

Neem $A$ met rijen $(2,1)$ en $(5,3)$. De determinant is $2\times 3-1\times 5=1$, dus de matrix is inverteerbaar. Pas de regel voor twee-bij-twee-matrices toe en krijg de rijen $(3,-1)$ en $(-5,2)$. Vermenigvuldigen in beide volgorden geeft de eenheidsmatrix.

Omdat de determinant in dit voorbeeld exact één is, blijven alle rekenstappen bij gehele getallen. Bij een andere determinant ongelijk aan nul zouden breuken verschijnen. Houd ze exact totdat een decimale benadering werkelijk nodig is.

De inverse lost ieder stelsel met dezelfde coëfficiëntenmatrix op

Vermenigvuldig $Ax=b$ links met $A^{-1}$. Associativiteit geeft $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, dus $x=A^{-1}b$. Met de bovenstaande matrix en $b=(7,19)$ geeft het product $x=(2,3)$. Invullen controleert dat $2\times 2+1\times 3=7$ en $5\times 2+3\times 3=19$.

Een volledige inverse berekenen is niet altijd de beste numerieke methode voor één groot stelsel. Rechtstreekse factorisatie kan minder werk vragen en zich bij afronding beter gedragen. De inverse blijft nuttig als veel rechterleden dezelfde matrix delen of als juist de symbolische structuur het doel is.

Gauss-Jordaneliminatie werkt ook boven twee bij twee

Plaats $A$ naast de eenheidsmatrix in een uitgebreide matrix. Voer geldige elementaire rijbewerkingen uit op de hele matrix. Als de linkerkant de eenheidsmatrix wordt, staat rechts de inverse. Kan een vereiste pivot niet worden gemaakt en houdt de linkerkant een nulrij, dan is de matrix singulier.

Rijen verwisselen, een rij vermenigvuldigen met een niet-nulgetal en een veelvoud van een rij bij een andere optellen zijn omkeerbaar. Door ze ook op het eenheidsblok toe te passen, worden hun inverse effecten daar samengesteld. De methode controleert tegelijk de inverteerbaarheid zonder eerst een grote determinant uit te werken.

Regels voor product en transponeren keren de volgorde om

Als $A$ en $B$ inverteerbaar zijn en hun product is gedefinieerd, dan geldt ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. De volgorde keert om, omdat $B^{-1}$ eerst de werking van $B$ ongedaan moet maken. Verder geldt ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ en ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ voor gehele machten waarvoor de uitdrukkingen zijn gedefinieerd.

Ook een exact inverteerbare matrix kan numeriek gevoelig zijn. De absolute waarde van haar determinant is daarvoor op zichzelf geen betrouwbare maat, omdat die van de schaal van de matrix afhangt. Hoe sterk kleine veranderingen door meting of afronding in de berekende inverse worden versterkt, wordt doorgaans beoordeeld met het conditiegetal. Exacte inverteerbaarheid en numerieke stabiliteit zijn dus niet dezelfde eigenschap.