Eenheidsmatrix: definitie, eigenschappen en voorbeelden

Een eenheidsmatrix is bij matrixvermenigvuldiging de tegenhanger van het getal één. Zij is vierkant, heeft enen op de hoofddiagonaal en nullen op alle andere plaatsen. Vermenigvuldigen met een passende eenheidsmatrix laat de andere matrix onveranderd. De orde is belangrijk: een rechthoekige matrix kan links en rechts een eenheidsmatrix van een andere orde nodig hebben.

De indices geven de benodigde afmetingen aan

Als $A$ precies $m$ rijen en $n$ kolommen heeft, dan geldt $I_{m}A=A$ en $A{I}_n=A$. De linker eenheidsmatrix moet $m$ rijen en kolommen hebben, zodat haar aantal kolommen gelijk is aan het aantal rijen van $A$. De rechter eenheidsmatrix moet orde $n$ hebben. Alleen een losse $I$ schrijven is handig als de vereiste orde uit de context duidelijk is.

In elementnotatie gebruikt de eenheidsmatrix de Kroneckerdelta: een element is één als de rij- en kolomindex gelijk zijn en anders nul. De hoofddiagonaal loopt van linksboven naar rechtsonder. Een nevendiagonaal met enen vormt een andere permutatiematrix, niet de eenheidsmatrix.

Uitgewerkt voorbeeld met een twee-bij-drie-matrix

Laat $A$ twee rijen en drie kolommen hebben. Vermenigvuldig links met $I_2$. Iedere uitvoerrij kiest de overeenkomstige rij van $A$. Vermenigvuldig rechts met $I_3$. Iedere uitvoerkolom kiest de overeenkomstige kolom van $A$. In beide gevallen blijft ieder element op zijn plaats.

De producten $I_{3}A$ en $A{I}_2$ zijn niet alleen ongelijk; ze zijn niet gedefinieerd omdat hun binnenste afmetingen niet overeenkomen. Controleer de afmetingen voordat je elementen rij voor rij en kolom voor kolom vermenigvuldigt.

De eigenschappen volgen uit de neutrale rol

Voor ieder niet-negatief geheel getal $k$ geldt $I_{n^k}=I_n$. De determinant en het spoor zijn respectievelijk 1 en $n$. De matrix is haar eigen getransponeerde en haar eigen inverse. Al haar eigenwaarden zijn één, omdat iedere vector richting en lengte behoudt. Alleen het object van orde nul kan in gespecialiseerde conventies tegelijk eenheidsmatrix en nulmatrix zijn; dat geldt niet voor een gewone matrix van positieve orde.

De multiplicatieve eenheid is uniek. Als twee passende matrices $E$ en $F$ iedere matrix onveranderd laten, dan is $E=EF=F$. Dit korte argument verklaart waarom een matrixalgebra niet meerdere concurrerende eenheidsmatrices van dezelfde orde heeft.

Waarom eenheidsmatrices bij eliminatie en transformaties verschijnen

Bij Gauss-Jordaneliminatie wordt een uitgebreide matrix $[A\mid I]$ gebruikt, omdat de rijbewerkingen die $A$ in $I$ veranderen ook op het rechterblok worden toegepast. Als dit lukt, wordt dat rechterblok $A^{-1}$. In een stelsel $Ax=b$ maakt de stap naar $Ix=A^{-1}b$ de oplossingsvector zichtbaar.

In de meetkunde beeldt $I_2$ ieder punt $(x,y)$ op zichzelf af. Andere matrices rekken, draaien, spiegelen of scheeftrekken het vlak. De eenheidsmatrix vormt de basis waarmee die transformaties en hun omkeringen worden vergeleken. Lees verder over de inverse matrix om te zien wanneer een transformatie ongedaan kan worden gemaakt.