Matriz identidad: definición, propiedades y ejemplos

Una matriz identidad es el equivalente matricial del número uno en la multiplicación. Es cuadrada, tiene unos en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones. Multiplicar por una identidad compatible deja la otra matriz sin cambios. El orden importa: una matriz rectangular puede necesitar una identidad de un orden a la izquierda y otra de distinto orden a la derecha.

Los subíndices indican las dimensiones necesarias

Si $A$ tiene $m$ filas y $n$ columnas, entonces $I_{m}A=A$ y $A{I}_n=A$. La identidad de la izquierda debe tener $m$ filas y columnas para que sus columnas coincidan con las filas de $A$. La identidad de la derecha debe ser de orden $n$. Escribir solo $I$ resulta cómodo cuando el orden necesario queda claro por el contexto.

En notación por elementos, la identidad utiliza la delta de Kronecker: un elemento vale uno cuando los índices de fila y columna coinciden, y cero en los demás casos. La diagonal principal va desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha. Una antidiagonal de unos define otra matriz de permutación, no la identidad.

Ejemplo resuelto con una matriz de dos por tres

Sea $A$ una matriz con dos filas y tres columnas. Multiplica $I_2$ por la izquierda. Cada fila del resultado selecciona la fila correspondiente de $A$. Multiplica $I_3$ por la derecha. Cada columna del resultado selecciona la columna correspondiente de $A$. En ambos casos, todos los elementos permanecen en su lugar.

Los productos $I_{3}A$ y $A{I}_2$ no son solo distintos: no están definidos porque sus dimensiones interiores no coinciden. La comprobación de dimensiones debe hacerse antes de cualquier multiplicación elemento a elemento.

Las propiedades se deducen de su papel como elemento neutro

Para todo entero no negativo $k$, $I_{n^k}=I_n$. Su determinante y su traza son, respectivamente, 1 y $n$. Es su propia traspuesta y su propia inversa. Todos sus valores propios son uno porque cualquier vector conserva su dirección y su magnitud. La única identidad que también actúa como matriz cero es el objeto de orden cero de algunas convenciones especializadas, no una matriz ordinaria de orden positivo.

La identidad multiplicativa es única. Si dos matrices compatibles $E$ y $F$ dejan sin cambios todas las matrices, entonces $E=EF=F$. Este breve argumento explica por qué un álgebra de matrices no tiene varias identidades rivales del mismo orden.

Por qué las matrices identidad aparecen en la eliminación y las transformaciones

La matriz ampliada $[A\mid I]$ se utiliza en la eliminación de Gauss-Jordan porque las operaciones por filas que convierten $A$ en $I$ aplican las mismas transformaciones al bloque derecho. Si el proceso termina correctamente, ese bloque se convierte en $A^{-1}$. En un sistema $Ax=b$, llegar a $Ix=A^{-1}b$ deja visible el vector solución.

En geometría, $I_2$ lleva cada punto $(x,y)$ a sí mismo. Otras matrices estiran, giran, reflejan o cizallan el plano. La identidad es la referencia con la que se comparan esas transformaciones y sus operaciones inversas. Continúa con la matriz inversa para ver cuándo puede deshacerse una transformación.