Matriz identidade: definição, propriedades e exemplos

Uma matriz identidade é o equivalente matricial do número um na multiplicação. É quadrada, tem elementos iguais a um na diagonal principal e zeros em todas as outras posições. Multiplicar por uma matriz identidade compatível não altera a outra matriz. A ordem é importante: uma matriz retangular pode exigir uma identidade de uma ordem à esquerda e outra ordem à direita.

Os índices indicam as dimensões necessárias

Se $A$ tem $m$ linhas e $n$ colunas, então $I_{m}A=A$ e $A{I}_n=A$. A identidade à esquerda deve ter $m$ linhas e colunas, para que as suas colunas correspondam às linhas de $A$. A identidade à direita deve ser de ordem $n$. Escrever apenas $I$ é cómodo quando a ordem necessária resulta claramente do contexto.

Na notação por elementos, a identidade usa o delta de Kronecker: o elemento é um quando os índices da linha e da coluna são iguais e zero nos restantes casos. A diagonal principal vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Uma antidiagonal de elementos iguais a um define outra matriz de permutação, não a identidade.

Exemplo resolvido com uma matriz de duas por três

Considere uma matriz $A$ com duas linhas e três colunas. Multiplique $I_2$ à esquerda. Cada linha do resultado seleciona a linha correspondente de $A$. Multiplique $I_3$ à direita. Cada coluna do resultado seleciona a coluna correspondente de $A$. Em ambos os casos, todos os elementos ficam na mesma posição.

Os produtos $I_{3}A$ e $A{I}_2$ não são apenas diferentes: não estão definidos, porque as dimensões interiores não coincidem. A compatibilidade das dimensões deve ser verificada antes de qualquer multiplicação elemento a elemento.

As propriedades resultam do seu papel de elemento neutro

Para qualquer inteiro não negativo $k$, $I_{n^k}=I_n$. O determinante e o traço são, respetivamente, 1 e $n$. A matriz identidade é a sua própria transposta e a sua própria inversa. Todos os seus valores próprios são iguais a um, porque qualquer vetor conserva a direção e o comprimento. A única identidade que também funciona como matriz nula é o objeto de ordem zero usado em convenções especializadas, não uma matriz comum de ordem positiva.

O elemento neutro da multiplicação é único. Se duas matrizes compatíveis $E$ e $F$ deixarem todas as matrizes inalteradas, então $E=EF=F$. Este argumento curto explica por que uma álgebra matricial não tem várias identidades concorrentes da mesma ordem.

Porque surgem matrizes identidade na eliminação e nas transformações

Uma matriz aumentada $[A\mid I]$ é usada na eliminação de Gauss-Jordan porque as operações elementares que transformam $A$ em $I$ aplicam as mesmas transformações ao bloco da direita. Se o processo tiver êxito, esse bloco torna-se $A^{-1}$. Num sistema $Ax=b$, chegar a $Ix=A^{-1}b$ torna explícito o vetor solução.

Em geometria, $I_2$ leva cada ponto $(x,y)$ a si próprio. Outras matrizes esticam, rodam, refletem ou deformam o plano. A identidade é a referência usada para comparar essas transformações e as respetivas inversões. Prossiga para a matriz inversa para perceber quando uma transformação pode ser desfeita.