Matrice identité : définition, propriétés et exemples

Une matrice identité est l'équivalent matriciel du nombre un pour la multiplication. Elle est carrée, contient des uns sur sa diagonale principale et des zéros partout ailleurs. Multiplier par une matrice identité compatible ne modifie pas l'autre matrice. Son ordre est important : une matrice rectangulaire peut exiger une identité d'un certain ordre à gauche et une identité d'un autre ordre à droite.

Les indices indiquent les dimensions nécessaires

Si $A$ possède $m$ lignes et $n$ colonnes, alors $I_{m}A=A$ et $A{I}_n=A$. L'identité placée à gauche doit avoir $m$ lignes et colonnes afin que ses colonnes correspondent aux lignes de $A$. Celle placée à droite doit être d'ordre $n$. Écrire simplement $I$ est pratique uniquement lorsque l'ordre nécessaire ressort clairement du contexte.

Dans la notation par coefficients, l'identité utilise le symbole de Kronecker : son coefficient vaut un lorsque les indices de ligne et de colonne sont égaux, et zéro sinon. La diagonale principale va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Une antidiagonale composée de uns définit une autre matrice de permutation, pas la matrice identité.

Exemple détaillé avec une matrice à deux lignes et trois colonnes

Soit $A$ une matrice à deux lignes et trois colonnes. Multipliez-la par $I_2$ à gauche. Chaque ligne du produit sélectionne la ligne correspondante de $A$. Multipliez-la par $I_3$ à droite. Chaque colonne du produit sélectionne la colonne correspondante de $A$. Dans les deux cas, chaque coefficient reste à sa place.

Les produits $I_{3}A$ et $A{I}_2$ ne sont pas simplement différents : ils ne sont pas définis, car leurs dimensions intérieures ne correspondent pas. Vérifiez les dimensions avant toute multiplication coefficient par coefficient.

Les propriétés découlent de son rôle d'élément neutre

Pour tout entier naturel $k$, $I_{n^k}=I_n$. Son déterminant et sa trace valent respectivement 1 et $n$. Elle est égale à sa transposée et à son inverse. Toutes ses valeurs propres valent un, car chaque vecteur conserve sa direction et sa norme. La seule identité qui joue aussi le rôle de matrice nulle est l'objet d'ordre zéro utilisé dans certaines conventions spécialisées, et non une matrice ordinaire d'ordre positif.

L'élément neutre de la multiplication est unique. Si deux matrices compatibles $E$ et $F$ laissent toutes les matrices inchangées, alors $E=EF=F$. Ce court argument explique pourquoi une algèbre matricielle ne possède pas plusieurs identités concurrentes du même ordre.

Pourquoi les matrices identité interviennent dans l'élimination et les transformations

La matrice augmentée $[A\mid I]$ est utilisée dans l'élimination de Gauss-Jordan parce que les opérations sur les lignes qui transforment $A$ en $I$ appliquent les mêmes transformations au bloc de droite. Si le processus aboutit, ce bloc devient $A^{-1}$. Dans un système $Ax=b$, parvenir à $Ix=A^{-1}b$ fait apparaître le vecteur solution.

En géométrie, $I_2$ envoie chaque point $(x,y)$ sur lui-même. D'autres matrices étirent, tournent, réfléchissent ou cisaillent le plan. L'identité sert de référence pour comparer ces transformations et leurs opérations réciproques. Poursuivez avec la matrice inverse pour comprendre quand une transformation peut être annulée.