Matrice inverse : formule, conditions et exemples

Une matrice inverse annule l'effet d'une transformation linéaire carrée. Pour une matrice carrée $A$, une inverse $A^{-1}$ vérifie à la fois $A{A}^{-1}=I$ et $A^{-1}A=I$. L'exposant moins un ne signifie pas qu'il faut prendre l'inverse de chaque coefficient. Il désigne une inverse pour la multiplication matricielle, où l'ordre et les dimensions comptent.

Un déterminant non nul caractérise une matrice carrée inversible

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Un déterminant nul signifie que la transformation écrase une direction non nulle; des entrées différentes peuvent alors produire la même sortie, et aucune inverse bilatère ne peut les retrouver. Une telle matrice est dite singulière.

Pour une matrice d'ordre deux, le déterminant vaut $ad-bc$. Échangez les coefficients diagonaux $a$ et $d$, changez les signes de $b$ et $c$, puis divisez chaque coefficient obtenu par le déterminant. Cette formule n'est valable que si ce dénominateur n'est pas nul.

Explorez une matrice d'ordre deux et son inverse

Modifiez les coefficients pour observer le carré transformé, le déterminant et la matrice inverse.

Coefficient aCoefficient bCoefficient cCoefficient d

Exemple détaillé : calculer et vérifier l'inverse

Prenez la matrice $A$ dont les lignes sont $(2,1)$ et $(5,3)$. Son déterminant vaut $2\times 3-1\times 5=1$, donc la matrice est inversible. Appliquez la règle d'ordre deux pour obtenir les lignes $(3,-1)$ et $(-5,2)$. La multiplication dans l'un ou l'autre ordre donne la matrice identité.

Dans cet exemple, le déterminant exactement égal à un conserve des calculs entiers. Avec un autre déterminant non nul, des fractions apparaîtraient et devraient rester exactes jusqu'à ce qu'une approximation décimale soit réellement utile.

L'inverse résout tous les systèmes ayant la même matrice de coefficients

Dans $Ax=b$, multipliez à gauche par $A^{-1}$. L'associativité donne $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, donc $x=A^{-1}b$. Avec la matrice précédente et $b=(7,19)$, le produit donne $x=(2,3)$. La substitution vérifie que $2\times 2+1\times 3=7$ et $5\times 2+3\times 3=19$.

Calculer une inverse complète n'est pas toujours la meilleure méthode numérique pour résoudre un seul grand système. Une factorisation directe peut demander moins de travail et mieux résister aux arrondis. L'inverse reste utile lorsque plusieurs seconds membres partagent la même matrice ou lorsque la structure symbolique elle-même est l'objet de l'étude.

L'élimination de Gauss-Jordan s'applique au-delà de l'ordre deux

Placez $A$ à côté de la matrice identité dans une matrice augmentée. Appliquez des opérations élémentaires valides à toute la matrice. Si le bloc de gauche devient l'identité, celui de droite est l'inverse. Si aucun pivot nécessaire ne peut être créé et que le bloc de gauche conserve une ligne nulle, la matrice est singulière.

Échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul et ajouter à une ligne un multiple d'une autre sont des opérations réversibles. Les enregistrer sur le bloc identité compose leurs effets inverses. La méthode vérifie aussi l'inversibilité sans développer au préalable un déterminant de grande taille.

Les règles du produit et de la transposée conservent l'inversion de l'ordre

Si $A$ et $B$ sont inversibles et que leur produit est défini, alors ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. L'ordre est inversé parce que $B^{-1}$ doit d'abord annuler $B$. De plus, ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ et ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ pour les puissances entières où ces expressions sont définies.

Un déterminant non nul garantit l'inversibilité exacte, mais sa valeur absolue ne mesure pas, à elle seule, la stabilité numérique, car elle dépend de l'échelle de la matrice. Pour une matrice mal conditionnée, de petites variations de mesure ou d'arrondi peuvent entraîner de grandes variations de l'inverse calculée. L'inversibilité et le conditionnement sont deux questions liées, mais distinctes.