Invers matris: formel, villkor och exempel

En invers matris upphäver en kvadratisk linjär transformation. För en kvadratisk matris $A$ uppfyller en invers $A^{-1}$ både $A{A}^{-1}=I$ och $A^{-1}A=I$. Exponenten minus ett betyder inte att varje element ska ersättas av sitt reciproka värde. Den anger en invers vid matrismultiplikation, där ordning och dimensioner spelar roll.

En determinant skild från noll är testet för en kvadratisk matris

En kvadratisk matris är inverterbar exakt när dess determinant är skild från noll. När determinanten är noll avbildar transformationen minst en nollskild vektor på nollvektorn. Olika indata kan då ge samma utdata, och ingen tvåsidig invers kan återskapa dem. En sådan matris kallas singulär.

För en två gånger två-matris är determinanten $ad-bc$. Byt plats på diagonalelementen $a$ och $d$, byt tecken på $b$ och $c$ och dividera varje nytt element med determinanten. Formeln gäller endast när nämnaren inte är noll.

Utforska en två gånger två-matris och dess invers

Ändra elementen för att se den transformerade kvadraten, determinanten och inversen.

Element aElement bElement cElement d

Exempel: beräkna och kontrollera inversen

Låt $A$ ha raderna $(2,1)$ och $(5,3)$. Determinanten är $2\times 3-1\times 5=1$, så matrisen är inverterbar. Använd regeln för två gånger två-matriser och få raderna $(3,-1)$ och $(-5,2)$. Multiplikation i endera ordningen ger enhetsmatrisen.

Att determinanten är exakt ett gör att aritmetiken i exemplet bara använder heltal. Om determinanten hade varit ett annat tal skilt från noll skulle bråk uppstå, och de bör behållas i exakt form tills en decimalapproximation verkligen behövs.

Inversen löser alla system med samma koefficientmatris

För $Ax=b$ multiplicerar du från vänster med $A^{-1}$. Associativiteten ger $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, alltså $x=A^{-1}b$. Med matrisen ovan och $b=(7,19)$ blir resultatet $x=(2,3)$. Insättning kontrollerar att $2\times 2+1\times 3=7$ och $5\times 2+3\times 3=19$.

Att beräkna en fullständig invers är inte alltid den bästa numeriska metoden för ett enda stort system. Direkt faktorisering kan kräva mindre arbete och fungera bättre vid avrundning. Inversen är fortfarande värdefull när flera högerled använder samma matris eller när den symboliska strukturen i sig är målet.

Gauss-Jordan-elimination fungerar även för större matriser

Placera $A$ bredvid enhetsmatrisen i en utökad matris. Utför giltiga elementära radoperationer på hela uppställningen. Om vänster sida blir enhetsmatrisen är höger sida inversen. Om det inte går att skapa ett nödvändigt pivotelement och vänster sida har kvar en nollrad, är matrisen singulär.

Radbyten, multiplikation av en rad med ett tal skilt från noll och addition av en multipel av en rad till en annan är reversibla. När operationerna registreras på enhetsblocket sätts deras omvända effekter samman. Metoden kontrollerar också inverterbarheten utan att en stor determinant först behöver utvecklas.

Produkter inverteras i omvänd ordning

Om $A$ och $B$ är inverterbara och deras produkt är definierad, gäller ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Ordningen vänds eftersom $B^{-1}$ först måste upphäva $B$. Dessutom gäller ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ och ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ för heltalspotenser där uttrycken är definierade.

Även en exakt inverterbar matris kan vara numeriskt känslig. Determinantens absolutbelopp är i sig inget tillförlitligt mått på detta, eftersom det beror på matrisens skalning. Hur starkt små förändringar från mätning eller avrundning förstärks i den beräknade inversen bedöms vanligen med konditionstalet. Exakt inverterbarhet och numerisk stabilitet är därför inte samma egenskap.