Invers matrix: formel, betingelser og eksempler

En invers matrix ophæver en kvadratisk lineær transformation. For en kvadratisk matrix $A$ opfylder en invers $A^{-1}$ både $A{A}^{-1}=I$ og $A^{-1}A=I$. Eksponenten minus en betyder ikke, at hvert element skal erstattes af sin reciprokke værdi. Den betegner den inverse under matrixmultiplikation, hvor rækkefølge og dimensioner har betydning.

En determinant forskellig fra nul er testen for en kvadratisk matrix

En kvadratisk matrix er invertibel netop, når dens determinant ikke er nul. En determinant på nul betyder, at transformationen klapper en retning forskellig fra nul sammen. Forskellige input kan derfor give samme output, og ingen tosidet invers kan genskabe dem. En sådan matrix kaldes singulær.

For en to gange to-matrix er determinanten $ad-bc$. Byt de diagonale elementer $a$ og $d$, skift fortegn på $b$ og $c$, og divider hvert af de nye elementer med determinanten. Formlen er kun gyldig, når nævneren ikke er nul.

Undersøg en to gange to-matrix og dens inverse

Skift elementerne, og se det transformerede kvadrat, determinanten og den inverse matrix.

Element aElement bElement cElement d

Gennemregnet eksempel: beregn og kontrollér den inverse

Tag matricen $A$ med rækkerne $(2,1)$ og $(5,3)$. Dens determinant er $2\times 3-1\times 5=1$, så matricen er invertibel. Brug reglen for to gange to til at få rækkerne $(3,-1)$ og $(-5,2)$. Multiplikation i begge rækkefølger giver enhedsmatricen.

Den eksakte determinant på en holder beregningerne heltallige i dette eksempel. Hvis determinanten var et andet tal forskelligt fra nul, ville der opstå brøker. De bør bevares eksakt, indtil en decimal tilnærmelse faktisk er nødvendig.

Den inverse løser alle systemer med samme koefficientmatrix

I $Ax=b$ multipliceres fra venstre med $A^{-1}$. Associativitet giver $\left(A^{-1}A\right)x=A^{-1}b$, så $x=A^{-1}b$. Med matricen ovenfor og $b=(7,19)$ giver produktet $x=(2,3)$. Indsættelse kontrollerer, at $2\times 2+1\times 3=7$ og $5\times 2+3\times 3=19$.

Beregning af en fuld invers er ikke altid den bedste numeriske metode til ét stort system. En direkte faktorisering kan kræve mindre arbejde og være mere robust over for afrunding. Den inverse er stadig nyttig, når mange højresider deler samme matrix, eller når den symbolske struktur i sig selv er målet.

Gauss-Jordan-elimination virker også over orden to

Sæt $A$ ved siden af enhedsmatricen i en totalmatrix. Udfør gyldige elementære rækkeoperationer på hele matricen. Hvis venstresiden bliver til enhedsmatricen, er højresiden den inverse. Hvis en nødvendig pivot ikke kan skabes, og venstresiden beholder en nulrække, er matricen singulær.

Ombytning af rækker, multiplikation af en række med en skalar forskellig fra nul og addition af et multiplum af én række til en anden er reversible operationer. Når de registreres på enhedsblokken, sammensættes deres inverse virkninger. Metoden kontrollerer også invertibilitet uden først at udvikle en stor determinant.

Produkt- og transponeringsreglerne bevarer den omvendte rækkefølge

Hvis $A$ og $B$ er invertible, og deres produkt er defineret, så gælder ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. Rækkefølgen vendes, fordi $B^{-1}$ først skal ophæve $B$. Desuden gælder ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ og ${\left(A^k\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^k$ for heltallige potenser, hvor udtrykkene er defineret.

En lille absolut determinant er ikke i sig selv et mål for numerisk følsomhed, fordi determinantens størrelse afhænger af matricens skalering. En matrix kan være eksakt invertibel og alligevel dårligt konditioneret. Konditionstallet er det relevante mål for, hvor stærkt små ændringer i data eller afrunding kan påvirke løsningen og den beregnede inverse. Eksakt invertibilitet garanterer derfor ikke numerisk stabilitet.