Il determinante associa un numero a una matrice quadrata. Misura il fattore con cui una trasformazione modifica area o volume e stabilisce se esiste l'inversa. Se vale zero, una dimensione viene schiacciata: righe o colonne sono linearmente dipendenti e il sistema associato non ha soluzione unica.
La formula 2 × 2 come area orientata
Per una matrice 2 per 2, moltiplica gli elementi della diagonale principale e sottrai il prodotto dell'altra diagonale. Il valore assoluto è il fattore d'area; un segno negativo indica anche un'inversione dell'orientamento.
I vettori colonna nel grafico formano un parallelogramma. Cambia i quattro elementi e confronta la sua area con il determinante. Quando i vettori sono allineati, entrambi valgono zero.
Esplora un determinante 2 × 2
L'area del parallelogramma coincide con il valore assoluto del determinante.
Sarrus funziona esclusivamente per 3 × 3
Nella regola di Sarrus si ricopiano a destra le prime due colonne. Si sommano i prodotti delle tre diagonali discendenti e si sottraggono quelli delle tre ascendenti. È un promemoria per sei termini, non un algoritmo generale.
Estendere lo schema a una matrice 4 per 4 dà una risposta errata. Per ordini maggiori si usano riduzione per righe, cofattori o fattorizzazioni numeriche. Anche nell'ordine tre, separa i gruppi positivi e negativi per controllare i segni.
Minori e cofattori nello sviluppo di Laplace
Eliminando la riga (i) e la colonna (j) si ottiene il minore di (a_{ij}). Il cofattore aggiunge il motivo alternato dei segni che parte con più in alto a sinistra. Si moltiplicano gli elementi di una riga o colonna scelta per i cofattori e si somma.
Qualsiasi riga o colonna porta allo stesso valore. Scegline una con molti zeri per accorciare il lavoro. Il metodo vale per ogni ordine quadrato, ma diventa oneroso sulle matrici grandi e dense.
Calcolo completo di ordine 3
Considera le righe (1,2,3), (0,4,5) e (1,0,6). Lo sviluppo lungo la seconda riga elimina un termine grazie allo zero iniziale. I due cofattori restanti confermano Sarrus.
Il determinante è 22, quindi la matrice è invertibile. Scambiando due righe diventerebbe −22. Moltiplicare una riga per 3 triplica il valore; aggiungere a una riga un multiplo di un'altra non lo modifica.
Controlli rapidi e limiti del numero ottenuto
Per una matrice triangolare basta il prodotto della diagonale principale. Righe uguali o proporzionali impongono zero. La trasposizione conserva il determinante e il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti.
Solo le matrici quadrate hanno determinante. Il valore dipende anche dalla scala e dalle unità, quindi un numero piccolo ma non nullo non dimostra da solo instabilità numerica. Approfondisci in matrici e matrici inverse.
Se usi operazioni elementari, registra l'effetto di ogni passaggio. Scambiare due righe cambia il segno; moltiplicare una riga per (k) moltiplica il determinante per (k); aggiungere a una riga un multiplo di un'altra non lo cambia. Puoi così ottenere una matrice triangolare e moltiplicare la diagonale. Alla fine devi ripristinare i fattori e i segni annotati, altrimenti una riduzione corretta porta a un valore finale sbagliato.
