Wyznacznik przypisuje macierzy kwadratowej jedną liczbę. Określa współczynnik zmiany pola lub objętości przekształcenia i rozstrzyga o istnieniu macierzy odwrotnej. Wartość zero oznacza utratę wymiaru: wiersze lub kolumny są liniowo zależne, a układ nie ma jednego rozwiązania.
Wzór 2 × 2 jako zorientowane pole
Dla macierzy 2 na 2 pomnóż elementy przekątnej głównej i odejmij iloczyn drugiej przekątnej. Wartość bezwzględna jest współczynnikiem pola, a znak ujemny oznacza zmianę orientacji.
Wykres pokazuje równoległobok rozpięty przez wektory kolumnowe. Zmieniaj cztery elementy i porównuj jego pole z wyznacznikiem. Gdy wektory leżą na jednej prostej, oba wyniki są zerowe.
Zbadaj wyznacznik 2 × 2
Pole równoległoboku jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika.
Reguła Sarrusa działa tylko dla 3 × 3
W regule Sarrusa przepisuje się z prawej strony dwie pierwsze kolumny. Sumuje się iloczyny trzech przekątnych opadających i odejmuje iloczyny trzech rosnących. To sposób zapamiętania sześciu składników, nie algorytm dowolnego rzędu.
Rozszerzenie schematu na macierz 4 na 4 daje błędną odpowiedź. Dla większych rzędów stosuje się operacje wierszowe, rozwinięcie względem kofaktorów lub faktoryzację numeryczną. Nawet dla 3 na 3 warto osobno zapisać składniki dodatnie i ujemne.
Minory i dopełnienia algebraiczne w rozwinięciu Laplace'a
Usunięcie wiersza (i) i kolumny (j) daje minor elementu (a_{ij}). Dopełnienie algebraiczne dodaje naprzemienny znak, rozpoczynający się od plusa w lewym górnym rogu. Elementy wybranego wiersza lub kolumny mnoży się przez ich dopełnienia i sumuje.
Każdy wiersz i każda kolumna prowadzą do tej samej wartości. Wybór z wieloma zerami skraca pracę. Metoda jest ogólna, ale dla dużych gęstych macierzy staje się kosztowna.
Pełne obliczenie rzędu trzeciego
Rozważ wiersze (1,2,3), (0,4,5) i (1,0,6). Rozwinięcie względem drugiego wiersza pomija jeden składnik dzięki zeru. Dwa pozostałe dopełnienia dają ten sam wynik co Sarrus.
Wyznacznik wynosi 22, więc macierz jest odwracalna. Zamiana dwóch wierszy dałaby −22. Pomnożenie wiersza przez 3 potraja wynik, a dodanie wielokrotności innego wiersza nie zmienia go.
Szybkie kontrole i granice interpretacji
Dla macierzy trójkątnej wystarczy iloczyn przekątnej głównej. Jednakowe lub proporcjonalne wiersze wymuszają zero. Transpozycja zachowuje wyznacznik, a wyznacznik iloczynu jest iloczynem wyznaczników.
Wyznacznik istnieje tylko dla macierzy kwadratowej. Jego wielkość zależy od skali i jednostek, więc mała niezerowa wartość sama nie dowodzi niestabilności numerycznej. Zobacz macierze i macierze odwrotne.
Przy operacjach elementarnych zapisuj wpływ każdego kroku. Zamiana dwóch wierszy zmienia znak, pomnożenie wiersza przez (k) mnoży wyznacznik przez (k), a dodanie wielokrotności jednego wiersza do drugiego nie zmienia wartości. Dzięki temu można sprowadzić macierz do postaci trójkątnej i pomnożyć elementy przekątnej. Na końcu trzeba uwzględnić zgromadzone znaki i czynniki. Bez tej notatki szybka metoda daje zły wynik mimo poprawnej eliminacji. Dodatkową kontrolą jest obliczenie tego samego przykładu rozwinięciem wzdłuż innego wiersza.
