O determinante associa um número a uma matriz quadrada. Esse número indica se a transformação linear conserva uma área ou um volume não nulos e se a matriz possui inversa. Um determinante igual a zero significa que há dependência entre linhas ou colunas e que o sistema correspondente não tem solução única.
O cálculo 2 × 2 e o fator de área
Numa matriz 2 por 2, multiplique os elementos da diagonal principal e subtraia o produto da outra diagonal. O valor absoluto do determinante é o fator pelo qual a transformação altera áreas. O sinal regista a orientação: um valor negativo inclui uma reflexão.
Altere os quatro elementos abaixo. O paralelogramo é formado pelos vetores coluna e a sua área corresponde ao valor absoluto do determinante. Quando os vetores ficam na mesma reta, a área e o determinante tornam-se zero.
Explore um determinante 2 × 2
A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante.
A regra de Sarrus limita-se à ordem 3
Para uma matriz 3 por 3, a regra de Sarrus repete as duas primeiras colunas à direita. Somam-se os produtos das três diagonais descendentes e subtraem-se os produtos das três diagonais ascendentes. É uma forma de organizar seis termos, não um método geral.
Aplicar o mesmo desenho a uma matriz 4 por 4 produz uma resposta errada. Em ordens maiores, use eliminação, cofatores ou uma fatorização numérica. Mesmo na ordem 3, escreva separadamente os grupos positivos e negativos para não perder sinais quando houver elementos negativos.
A expansão de Laplace usa menores e cofatores
Ao eliminar a linha (i) e a coluna (j), obtém-se o menor associado a (a_{ij}). O cofator acrescenta o padrão alternado de sinais que começa com mais no canto superior esquerdo. A expansão multiplica cada elemento de uma linha ou coluna pelo respetivo cofator e soma os resultados.
Qualquer linha ou coluna fornece o mesmo determinante. Escolha uma que contenha vários zeros para reduzir as contas. O método é válido para qualquer ordem, embora se torne pouco eficiente em matrizes grandes e densas.
Determinante 3 × 3 resolvido
Considere as linhas (1,2,3), (0,4,5) e (1,0,6). Desenvolver pela segunda linha é conveniente porque o primeiro elemento é zero. Os dois cofatores restantes conduzem ao mesmo valor obtido por Sarrus.
O resultado é 22, logo a matriz é invertível. Se duas linhas fossem trocadas antes do cálculo, o resultado seria −22. Multiplicar uma linha por 3 multiplica o determinante por 3; somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o valor.
Verificações rápidas e limites do método
Numa matriz triangular, basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Linhas iguais ou proporcionais forçam determinante zero. A transposição não altera o determinante, e o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
O determinante só existe para matrizes quadradas. O seu valor depende também da escala e das unidades, portanto um valor pequeno mas não nulo não prova, sozinho, instabilidade numérica. Veja o guia de matrizes para a notação geral e matrizes inversas para a relação com a invertibilidade.
Ao usar operações elementares, registe cada efeito no determinante: trocar linhas muda o sinal, multiplicar uma linha por (k) multiplica o resultado por (k), e somar a uma linha um múltiplo de outra não o altera. Esse registo permite triangular a matriz sem perder o fator acumulado nem repetir toda a expansão.
