El determinante asigna un número a una matriz cuadrada. Ese número indica el factor de cambio de área o volumen de la transformación y permite saber si la matriz tiene inversa. Un determinante nulo señala que algunas filas o columnas dependen linealmente de otras y que el sistema asociado no tiene una única solución.
La fórmula 2 × 2 también mide un área
En una matriz 2 por 2, multiplica la diagonal principal y resta el producto de la otra diagonal. El valor absoluto es el factor de escala del área. El signo indica orientación: un resultado negativo incluye una reflexión.
En el gráfico, las columnas forman un paralelogramo. Cambia las entradas y compara su área con el determinante. Si ambos vectores quedan sobre la misma recta, el área se anula.
Explora un determinante 2 × 2
El área del paralelogramo es el valor absoluto del determinante.
Sarrus es un atajo exclusivo de 3 × 3
La regla de Sarrus repite las dos primeras columnas a la derecha. Se suman los productos de las tres diagonales descendentes y se restan los de las tres ascendentes. Es una forma de recordar seis términos, no un algoritmo para cualquier tamaño.
Extender el dibujo a una matriz 4 por 4 produce un resultado falso. Para órdenes mayores se emplean reducción por filas, cofactores o factorizaciones numéricas. Incluso en 3 por 3 conviene separar los grupos positivos y negativos para controlar los signos.
Menores y cofactores en la expansión de Laplace
Al eliminar la fila (i) y la columna (j) se obtiene el menor de (a_{ij}). El cofactor incorpora el patrón alternado de signos que comienza con más en la esquina superior izquierda. La expansión multiplica los elementos de una fila o columna por sus cofactores y suma.
Se puede elegir cualquier fila o columna; todas dan el mismo resultado. Una que contenga muchos ceros reduce el trabajo. El método vale para cualquier matriz cuadrada, aunque es costoso para matrices grandes y densas.
Cálculo completo de un determinante 3 × 3
Considera las filas (1,2,3), (0,4,5) y (1,0,6). Expandir por la segunda fila evita un término porque su primera entrada es cero. Los dos cofactores restantes coinciden con el resultado de Sarrus.
El determinante es 22, de modo que la matriz es invertible. Si intercambiaras dos filas, sería −22. Multiplicar una fila por 3 triplica el determinante; sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia.
Propiedades para comprobar sin repetir todo
En una matriz triangular basta multiplicar la diagonal principal. Filas iguales o proporcionales fuerzan el valor cero. Transponer no altera el determinante, y el determinante de un producto es el producto de los determinantes.
Solo las matrices cuadradas tienen determinante. Además, su valor depende de la escala y de las unidades, por lo que un número pequeño no demuestra por sí mismo inestabilidad numérica. Amplía la notación en matrices y la relación con la invertibilidad en matrices inversas.
Si calculas mediante operaciones elementales, registra el efecto de cada paso. Intercambiar filas cambia el signo; multiplicar una fila por (k) multiplica el determinante por (k); sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el valor. Así puedes triangular la matriz y corregir al final los factores acumulados sin repetir la expansión completa.
