Determinanten knytter ét tal til en kvadratisk matrix. Tallet beskriver areal- eller rumfangsfaktoren i afbildningen og afgør, om en invers findes. Determinant nul betyder, at en dimension kollapser: rækker eller søjler er lineært afhængige, og ligningssystemet har ingen entydig løsning.
2 × 2-formlen som orienteret areal
For en 2 gange 2-matrix ganges hoveddiagonalen, og produktet af den anden diagonal trækkes fra. Absolutværdien er arealfaktoren; negativt fortegn viser også en vending af orienteringen.
Søjlevektorerne spænder et parallelogram ud. Ændr de fire elementer og sammenlign arealet med determinanten. Når vektorerne ligger på samme linje, bliver begge nul.
Undersøg en 2 × 2-determinant
Parallelogrammets areal er determinantens absolutværdi.
Sarrus' regel gælder kun 3 × 3
Ved Sarrus kopieres de to første søjler til højre. Produkterne langs tre nedadgående diagonaler lægges sammen, og de tre opadgående trækkes fra. Mønstret husker seks led, men er ikke en generel metode.
At udvide tegningen til 4 gange 4 giver et forkert svar. Til større matricer bruges rækkeoperationer, kofaktorer eller numerisk faktorisering. Selv ved 3 gange 3 bør positive og negative grupper skrives særskilt.
Minorer og kofaktorer i Laplace-udviklingen
Fjern række (i) og søjle (j) for at få minoren til (a_{ij}). Kofaktoren tilføjer det skiftende fortegnsmønster, som starter med plus øverst til venstre. Gang elementerne i en valgt række eller søjle med deres kofaktorer og summér.
Hver række eller søjle giver samme værdi. Vælg en med mange nuller for at spare arbejde. Metoden gælder enhver kvadratisk orden, men er dyr for store tætte matricer.
Fuldt eksempel af tredje orden
Betragt rækkerne (1,2,3), (0,4,5) og (1,0,6). Udvikling langs anden række fjerner ét led på grund af det første nul. De to resterende kofaktorer bekræfter Sarrus.
Determinanten er 22, så matricen er invertibel. Et bytte af to rækker ville give −22. Ganges en række med 3, tredobles værdien; lægges et multiplum af en række til en anden, ændres den ikke.
Hurtige kontroller og fortolkningsgrænser
For en trekantsmatrix er produktet af hoveddiagonalen nok. Ens eller proportionale rækker tvinger nul. Transponering bevarer determinanten, og et produkts determinant er produktet af determinanterne.
Kun kvadratiske matricer har determinant. Størrelsen afhænger af skala og enheder, så en lille ikke-nulværdi beviser ikke alene numerisk ustabilitet. Læs om matricer og om inverse matricer.
Ved elementære rækkeoperationer skal hver virkning registreres. Et rækkebytte ændrer fortegnet, multiplikation af en række med (k) multiplicerer determinanten med (k), og addition af et rækkemultiplum til en anden række ændrer ikke værdien. Derfor kan matricen reduceres til trekantsform, hvorefter diagonalen ganges. De registrerede fortegn og faktorer føres tilbage til sidst. Uden denne bogføring kan elimineringen være korrekt, mens slutresultatet bliver forkert. En udvikling langs en anden række giver en nyttig uafhængig kontrol i et lille eksempel.
