Determinantti liittää neliömatriisiin yhden luvun. Se kertoo lineaarikuvauksen pinta-ala- tai tilavuuskertoimen ja ratkaisee, onko matriisi kääntyvä. Nolla tarkoittaa ulottuvuuden romahtamista: rivit tai sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia eikä yhtälöryhmällä ole yksikäsitteistä ratkaisua.
2 × 2-kaava suunnattuna pinta-alana
Koon 2 kertaa 2 matriisissa kerro päälävistäjän alkiot ja vähennä toisen lävistäjän tulo. Itseisarvo on pinta-alakerroin; negatiivinen merkki kertoo lisäksi suunnan kääntymisestä.
Sarakevektorit virittävät kuvassa suunnikkaan. Muuta neljää alkiota ja vertaa pinta-alaa determinanttiin. Kun vektorit ovat samalla suoralla, molemmat ovat nollia.
Tutki 2 × 2-determinanttia
Suunnikkaan pinta-ala on determinantin itseisarvo.
Sarrusin sääntö toimii vain koolle 3 × 3
Sarrusin säännössä kaksi ensimmäistä saraketta kopioidaan oikealle. Kolmen alaspäin kulkevan lävistäjän tulot lisätään ja kolmen ylöspäin kulkevan vähennetään. Kuvio muistaa kuusi termiä, mutta ei ole yleinen algoritmi.
Saman kuvion venyttäminen kokoon 4 kertaa 4 antaa väärän vastauksen. Suuremmissa matriiseissa käytetään rivimuunnoksia, kofaktoreita tai numeerista hajotelmaa. Myös 3 kertaa 3 -tapauksessa positiiviset ja negatiiviset ryhmät kannattaa kirjoittaa erikseen.
Minori ja kofaktori Laplacen kehitelmässä
Poista rivi (i) ja sarake (j), jolloin saat alkion (a_{ij}) minorin. Kofaktori lisää vuorottelevan merkkikuvion, joka alkaa vasemmalta ylhäältä plussalla. Valitun rivin tai sarakkeen alkiot kerrotaan kofaktoreillaan ja summataan.
Jokainen rivi ja sarake antaa saman arvon. Valitse paljon nollia sisältävä, jotta työ vähenee. Menetelmä toimii kaikille neliömatriiseille mutta käy raskaaksi suurille tiheille matriiseille.
Kolmannen kertaluvun täydellinen esimerkki
Tarkastele rivejä (1,2,3), (0,4,5) ja (1,0,6). Kehittäminen toisen rivin mukaan poistaa yhden termin ensimmäisen nollan vuoksi. Kaksi jäljelle jäävää kofaktoria vahvistavat Sarrusin tuloksen.
Determinantti on 22, joten matriisi on kääntyvä. Kahden rivin vaihto antaisi −22. Rivin kertominen kolmella kolminkertaistaa arvon; toisen rivin monikerran lisääminen ei muuta sitä.
Nopeat tarkistukset ja tulkinnan rajat
Kolmiomatriisille riittää päälävistäjän tulo. Samat tai verrannolliset rivit pakottavat nollan. Transponointi säilyttää determinantin, ja tulon determinantti on determinanttien tulo.
Vain neliömatriisilla on determinantti. Sen suuruus riippuu asteikosta ja yksiköistä, joten pieni nollasta poikkeava arvo ei yksin todista numeerista epävakautta. Lue matriiseista ja käänteismatriiseista.
Kirjaa alkeisrivitoimitusten jokainen vaikutus erikseen. Kahden rivin vaihto muuttaa merkin, rivin kertominen luvulla (k) kertoo determinantin samalla luvulla, ja rivin monikerran lisääminen toiseen ei muuta arvoa. Näin matriisi voidaan muuntaa kolmiomuotoon ja lävistäjän alkiot kertoa. Lopuksi kirjatut merkit ja kertoimet palautetaan laskuun. Ilman tätä seurantaa eliminointi voi olla oikein mutta lopputulos väärä. Pienessä esimerkissä kehitä determinantti vielä toisen rivin mukaan tai tarkista numeerisella suoralla laskulla, jotta merkkivirhe ei jää piiloon.
Yksiköillä varustetussa mallissa myös determinantin yksikkö kertautuu dimension mukaan. Pinta-alan muunnosta kuvaavan 2 × 2 -matriisin determinantti on pinta-alan mittakaavakerroin, ei pituuden mittakaavakerroin.
