Die Determinante ordnet einer quadratischen Matrix eine Zahl zu. Sie beschreibt den Flächen- oder Volumenfaktor der linearen Abbildung und entscheidet, ob eine Inverse existiert. Bei Determinante null werden Dimensionen zusammengedrückt; Zeilen oder Spalten sind linear abhängig und das zugehörige Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.
Die 2 × 2-Formel als orientierter Flächeninhalt
Bei einer 2-mal-2-Matrix wird das Produkt der Hauptdiagonale gebildet und das Produkt der Gegendiagonale abgezogen. Der Betrag ist der Flächenfaktor. Ein negatives Vorzeichen zeigt, dass die Abbildung zusätzlich die Orientierung umkehrt.
Die Spaltenvektoren im Schaubild spannen ein Parallelogramm auf. Verändere die vier Einträge und vergleiche dessen Fläche mit dem Betrag der Determinante. Liegen beide Vektoren auf einer Geraden, verschwinden Fläche und Determinante.
Untersuche eine 2 × 2-Determinante
Die Fläche des Parallelogramms entspricht dem Betrag der Determinante.
Die Regel von Sarrus gilt nur für 3 × 3
Für eine 3-mal-3-Matrix werden bei Sarrus die ersten beiden Spalten rechts wiederholt. Die drei Produkte der abwärts laufenden Diagonalen werden addiert, die drei aufwärts laufenden Produkte subtrahiert. Das ist eine Merkhilfe für sechs Terme, kein allgemeines Verfahren.
Wer das Diagonalschema auf 4 mal 4 erweitert, erhält ein falsches Ergebnis. Für größere Ordnungen eignen sich Zeilenumformungen, Kofaktorentwicklung oder numerische Faktorisierungen. Auch bei 3 mal 3 sollten positive und negative Gruppen getrennt notiert werden.
Minoren und Kofaktoren in der Laplace-Entwicklung
Streicht man Zeile (i) und Spalte (j), entsteht der Minor zum Eintrag (a_{ij}). Der Kofaktor ergänzt das schachbrettartige Vorzeichenmuster, das links oben mit plus beginnt. Eine ausgewählte Zeile oder Spalte wird eintragsweise mit den Kofaktoren multipliziert und anschließend addiert.
Jede Zeile und jede Spalte liefert denselben Wert. Eine Zeile mit mehreren Nullen spart Rechenarbeit. Laplace ist für jede quadratische Ordnung gültig, wird bei großen dichten Matrizen aber schnell aufwendig.
Ein vollständiges Beispiel dritter Ordnung
Betrachte die Zeilen (1,2,3), (0,4,5) und (1,0,6). Die Entwicklung nach der zweiten Zeile ist günstig, weil ihr erster Eintrag null ist. Die beiden verbleibenden Kofaktoren ergeben denselben Wert wie Sarrus.
Die Determinante ist 22, also ist die Matrix invertierbar. Werden zwei Zeilen vertauscht, wird daraus −22. Die Multiplikation einer Zeile mit 3 verdreifacht den Wert; das Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen lässt ihn unverändert.
Schnelle Kontrollen und Grenzen
Bei Dreiecksmatrizen genügt das Produkt der Hauptdiagonale. Gleiche oder proportionale Zeilen führen zu null. Transponieren ändert die Determinante nicht, und für Produkte gilt die Produktregel der Determinanten.
Nur quadratische Matrizen besitzen eine Determinante. Ihr Zahlenwert hängt außerdem von Maßstab und Einheiten ab; ein kleiner, aber von null verschiedener Wert beweist allein keine numerische Instabilität. Siehe Matrizen und Operationen sowie inverse Matrizen.
Wer mit elementaren Zeilenumformungen rechnet, muss jede Wirkung mitführen. Ein Zeilentausch ändert das Vorzeichen, die Multiplikation einer Zeile mit (k) multipliziert auch die Determinante mit (k), und das Addieren eines Zeilenvielfachen zu einer anderen Zeile ändert sie nicht. So lässt sich die Matrix in Dreiecksform bringen, deren Diagonalprodukt leicht berechnet wird. Am Ende werden die notierten Faktoren und Vorzeichen berücksichtigt; sonst ist die schnelle Methode trotz korrekter Umformungen falsch.
