Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Funktionen in Zeilen und Spalten. Sie kann Messdaten speichern, ein Gleichungssystem codieren, eine geometrische Abbildung darstellen oder Beziehungen in einem Netzwerk beschreiben. Die Position eines Eintrags ist Teil seiner Bedeutung.
Ordnung, Einträge und überlappende Matrixarten
Die Ordnung (m×n) nennt zuerst die Zahl der Zeilen und dann die der Spalten. Zwei Matrizen sind nur gleich, wenn sie dieselbe Ordnung besitzen und alle entsprechenden Einträge übereinstimmen. Zeilen-, Spalten- und quadratische Matrizen unterscheiden sich durch ihre Form.
Beobachte eine 2 × 2-Matrix in der Ebene
Ändere die Einträge und verfolge die Bilder der Basisvektoren sowie den Flächenfaktor.
Eine Diagonalmatrix hat außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen. Bei einer Skalarmatrix sind alle Diagonaleinträge gleich; die Einheitsmatrix hat dort Einsen. Nullmatrix und Dreiecksmatrizen bilden weitere wichtige Sonderformen.
Die Bezeichnungen schließen einander nicht aus. Die Einheitsmatrix ist quadratisch, diagonal, skalar sowie obere und untere Dreiecksmatrix. Sie kann außerdem symmetrisch sein, weil sie ihrer Transponierten entspricht.
Addition und Skalarmultiplikation arbeiten eintragsweise
Matrizen dürfen nur bei gleicher Ordnung addiert oder subtrahiert werden. Man verbindet jeweils dieselben Positionen. Bei der Multiplikation mit einem Skalar wird jeder Eintrag multipliziert und die Ordnung bleibt gleich.
Dieselbe Gesamtzahl an Einträgen reicht nicht aus. Eine 2-mal-3-Matrix und eine 3-mal-2-Matrix enthalten beide sechs Zahlen, besitzen aber unterschiedliche Strukturen und keine definierte Summe.
Beim Matrixprodukt treffen Zeilen auf Spalten
(AB) ist definiert, wenn die Spaltenzahl von (A) der Zeilenzahl von (B) entspricht. Jeder Ergebniseintrag ist das Skalarprodukt einer Zeile aus (A) mit einer Spalte aus (B). Aus (m×n) und (n×p) entsteht (m×p).
Das Beispiel zeigt, warum Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Selbst wenn (AB) und (BA) existieren, können sie verschieden sein. Bei Abbildungen wirkt in (ABx) zuerst (B), dann (A).
Determinanten trennen reguläre von singulären Matrizen
Nur quadratische Matrizen haben Determinanten. Ein von null verschiedener Wert bedeutet lineare Unabhängigkeit der Spalten und Invertierbarkeit; null kennzeichnet eine singuläre Matrix. Rechenwege findest du unter Determinanten von Matrizen.
Eine zuverlässige Reihenfolge beim Rechnen
Notiere vorab alle Dimensionen. Prüfe für Summen gleiche Formen und für Produkte die inneren Dimensionen. Sage die Ordnung des Ergebnisses voraus und bearbeite jeweils ein Zeilen-Spalten-Paar. Kontrolliere anschließend mit der Einheitsmatrix; eine behauptete Inverse muss auf beiden Seiten die Einheitsmatrix liefern.
Bei Messdaten können frühe Rundungen das Resultat verschieben. Rechne intern mit zusätzlichen Stellen und runde erst das Endergebnis so genau, wie es die Eingangsdaten rechtfertigen.
Vor jeder Rechnung sollten die Bedeutungen von Zeilen und Spalten feststehen. In einer Kostenmatrix können Zeilen Produkte und Spalten Monate darstellen. Wird diese Konvention vertauscht, ohne die zugehörigen Vektoren anzupassen, kann ein Produkt formal passende Dimensionen haben und dennoch die falsche Frage beantworten. Auch Einheiten gehören zur Interpretation: Stückzahlen, Preise und Zeiträume dürfen nicht allein deshalb kombiniert werden, weil ihre Tabellenformen kompatibel aussehen.
